Appunti Analisi 1

Lezione 22/11/24

Teorema sul limite della funzione composta

g: A → B, g: B → R g(A) ⊆ B c è un punto di B_δ lim_x→c g(x) = L, lim_u→L f(u) = E ∈ R̅ ⇒ lim_x→c (f∘g)(x) = E

(∗) u ∈ V_ε(L) : g(x) ∈ V_δ(c)^x∈A∩f

Allora lim_x→c g(x)=L →

Osservazione

Se c ∈ B, L ∈ R, e L = g(c) il teorema vale senza (∗)

Esercizi

1. lim_x→1⁻ (2^1/x - x⁴)

f(x) = x² + 1, g_(x) = (2^1/x)⁴

lim_x→1⁻ x⁴ = +∞ (Osservato d) (∗) è vera perché d = +∞

2. lim_x→0 f(x) = cosx

g(x) = ∫^x_-x → lim_x→0 cosx = 1

3. (g∘f∘)(x) = dU ∈ V_ε(inf), cosx ≠ 1 ∀x ∈ V {±ηx}

Preale c intervallo V = ]3R,5R[ ⇒ (x) ∈ U_ε lim_x→0

Osservazione: d ∈ B, L ∈ R, L = g(d) posso ammettere (x)

4. lim_x→3 (2x² - 3x + √3)

g(x) = 2x² - 3x + √3 x = 3±√3 / 2x ≤ 3 ≠ x ≥ 1

A = ]-∞,4[ ∪ ]4,+∞[

Lezione 22/11/24

Teorema sul limite della funzione composta

β: A → ℝ, g: B → ℝ g(B) ⊆ A c ∈ B, ℓ ∈ ℝ

⋀ lim_x→c g(x) = b ⋀ lim_y→b β(y) = ℓ ∈ ℝ ⇒ lim_x→c β(g(x)) = ℓ

b ∈ A∩B

Allora lim_x→c β(g(x)) = ℓ

Osservazione

Se d ∈ B, L ∈ ℝ ⋀ L = β(d) il teorema vale senza ⋀.

Esercizi

1. lim_x→1 (²⁄_x²-1 + x⁴) = f(x) = x²+1, g₁ = 2^1/4 ⇒ (f(g₁))^1/4

lim_x→0 x⁴ = 4 + ∞ → osservare d

lim_x→0 x^1/3 = 0

(a) è vera perché d = ±∞

β: ℝ → ℝ β(x) = cos x

g: ℝ → [-2, 2] g(x) ={^{21/2 se x ∈ ℝ - ℚ}_{0 se g ∈ ℚ}}

g ∘ β(g x) = lim_x→0 cos x = lim_x→1 cos 4x = 1

lim_x→0 g x^(g₁) = lim_x→2 2^1/4 = 2

(a) g(x) ≠ d

3. 1/₂ ∈ 2^((inf)) cos x ∀ x ∈ V ∎ {inf}

Prendo l'intervallo V = ]3/8π, 5π[ ⇒ (a) è vera

lim_x→g(x) g∘β(x) = 2

Osservazione

d ∈ B, L ∈ ℝ, L = g(d) posso ammettere ⟹

3. lim_x→3 (^{2x-3 + √2}⁄_x-3)

β(x) = √ x - 3 = 0 ⇒ x = ^{3±√ 3-+2}⁄₂

g: [0, +∞[ → ℝ

Δ = 9 - 8 = 1

x² - 3x + 1 ⩾ 0 ⟹ x ∈ ℝ - 2

A = ] - ∞, 4^√3 [ ∪ ]4, +∞[

lim_x→2 2x²-3x+1 = 1/2 x^3/2 + x = 1

lim_x→1 √x = √1 = 1

La funzione non deve prendere valore 1 in un intorno

1. x = 7 ∀x∈(∃), g(х) = 4 ∀x∈ℝ ∩ (∃) { }
2. 2x²-3x+1 : x∈ℝ
3. 3x²-3x+1 : x : (2x-3) = 0

V = [4,2]

1. lim_x→0 e²x = 1
2. g(х) = x^m
3. lim_x→0 e^m⋅x = e^m⋅0 = 1
4. lim_x→0 x^m = x⁰ = 1

(x) non un intorno senza 1

1. lim_x→0 log0, a≠1
2. g(x) = log_ax, a>0, a≠1
3. f(x) = x³

Non sono funzioni iniettive: f(x) = x²

1. f(x) = x² = √{x/a}, x ≠ x²
2. f(x) = cos/sen/tan x

Funzioni pari, dispari e periodiche

Def. A ⊆ ℝ con la proprietà: x ∈ A ⇒ -x ∈ A

f : A → ℝ si dice pari se f(-x) = f(x) ∀ x ∈ A

Le grafiche delle funzioni pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Sono funzioni pari: f(x) = x², x⁴, x⁶,..., |x|, cosx,...

Def. B ⊆ ℝ si dice dispari se f(-x)=-f(x) ∀ x ∈ A

f(x) | |-x |-----|-----|-----| x | | | -f(x)

Il grafico di una f. dispari è simmetrico rispetto a (0,0).

Sono funzioni dispari: f(x) = x, x³, x⁵,..., sen x, tg x

Def. A ⊆ ℝ con la proprietà ∃ T>0 : x ∈ A ⇒ x+T ∈ A

f : A → ℝ si dice periodica di periodo T se f(x+T) = f(x) ∀ x ∈ A

Il grafico di f si ripete ad intervalli di ampiezza T.

Sono funzioni periodiche: f(x)= senx, cosx, tg x

La funzione inversa

Osservazione

Se g è strettamente monotona ⇒ g è invertibile

x₁ < x₂ ⇒ g(x₁) < g(x₂)

x₁ > x₂ ⇒ g(x₁) > g(x₂)

Se g è strett. crescente ∀x₁,x₂ ∈ A con x₁ ≠ x₂

Vale il viceversa. | g(x)= | x x ∈ [c,0[ | {} | -x x ∈ [0,a] |

g non è monotona, B=[c,-a] = [-a, c] → ∀ y ∈ [-a, c]

L'equazione g(x) = y ha un'unica soluzione

f : A → ℝ invertibile (∀y ∈ f(A) l'equazione f(x) = y ha unica soluzione x ∈ A)

Definiamo f^-1 : f(A) → A con la seguente legge

∀ y ∈ f(A) : f(f^-1(x)) = x essendo x l'unica soluzione in A dell'equazione f(x) = y

Es.1. f : [-2, 2] : x³ = f^-1 : ℝ → ℝ

f(x) = x² f(x) =z → y = x = √y quindi: f^-1(y) = √y

1. g(x) = a^x, a > 0, a ≠ 1 g : ℝ → ]0,+∞[

g⁻¹ : ]0,+∞[ → ℝ

y = a^x ⇒ x = log_ay ⇒ g⁻¹(y) = log_ay

2. g(x) = log_ax g : ]0,+∞[ → ℝ

g⁻¹ : ℝ → ]0,+∞[

y = log_ax ⇒ x = log_aa^y ⇒ g⁻¹(log_ay) = log_aa^y

3. g(x) = x²

g : [0,+∞[ → [0,+∞[

g : strett. crescente

g⁻¹ : [0,+∞[ → [0,+∞[

g⁻1(y) = √y x² = y ⇒ x = √y

Proprietà

d) g⁻¹ ◦ g : A → A

g : A → g(A)

g⁻1&Marker; ◦ g(A) ⇒ A

d) g ◦ g⁻1 : g(A) → g(A)

g(y) ∈ g(A), ∀x ∈ A

g⁻1 ◦ g(x) = x, ∀x ∈ A

g ◦ g⁻1 (y) = y, ∀y ∈ g(A)

3) g è strettamente crescente (decrescente) ⇒ g⁻1 strett. crescente (decrescente)

y₁, y₂ ∈ g(A) con y₁ 2 ⇒ g⁻1 (y₁) < g⁻1(y₂)

g⁻1 (y₁) < g⁻1 (y₂) ⇔ g(y₁) = y₂

g ^-1 (y₁) < g ^-1 (y₂) ⇔ g(y₁) = y₂

ba y₁ = y₂ ⇒ g(x₁) = g(x₂)

Se x₁ > x₂ ⇒ g⁻¹ (x₁) ≥ g⁻1(x₂), assendo x₁ < x₂, cioè, cioè g⁻1(y₁) ≤ g⁻1(y₂)

Se (x₀, y₀) ∈ g⊕g g allora (y₀, x₀) ∈ g ^-1

Infatti, (x₀, y₀) ∈ g⊕g g(x₀) = y₀ ⇒ y₀ = f⁻1(x₀) che è funzione inversa

(y₀, f⁻1(y₀)) ∈ g ^-1

I pt sono simmetrici rispetto alla 1 ^bisettrice

Le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche

1. ^f∶ ℝ→[-1,1] f(x) = senx

f è periodica, quindi non è invertibile

2. ^f∶ [-^π₂,^π₂] → [-1,1] f(x) = senx

f strettamente crescente ➔ invertibile

1. aℝ⊆ [-1,1] → [-^π₂,^π₂]
2. aΩ⊆ [-1,1] → [-^π₂,^π₂]

f^-1(x) = x sse x è l’unica soluzione in [-^π₂,^π₂] di senx=y

f^-1(x) si chiama arcseny

f^-1 inversa della restrizione della funzione senx

Proprietà

1. arcsen(senx) = x ∀x∈ [-^π₂,^π₂]
2. sen(arcsen y) = y ∀y ∈ [-1,1]
3. arcsen è una funzione strettamente crescente
4. arcosen (-1) = -^π₂
5. arcosen (0) = 0
6. arcosen (-y) = - arcseny ∀y∈ [-1,1]
7. y ∈ [-1,1] _limx→c arcsenx = arcsenc

2. ^f∶ ℝ→ [-1,1] f(x) = cosx

f non è invertibile

2. ^f∶ [0,^π]→[-1,1] f(x) = cosx

f è strettamente decrescente ➔ invertibile

1. aΩ⊆ [-1,1] → [-1,1]
2. aΩ⊆ [-1,1] → [-1,1]

1. ^f-1 (y)=x sse x è l’unica soluzione in [0,^π] di cosx=y
2. ^f-1 si chiama arccos y

Proprietà

1. arccos(cos(x)) = x ∀x ∈ [0, π]
2. cos(arccos(y)) = y ∀y ∈ [-1, 1]
3. arccos(x) è una funzione strettamente decrescente

arccos(0) = π/2

arccos(1) = 0 ∀c ∈ [-1, 1]

lim _c→c^- arccos c = arccos c

lim _c→c⁺ arccos c = arccos c

tg ³: ∪_k∈Z ]-π/2 + kπ, π/2 + kπ[ ⊆ ℝ

f^-1 _tg non è invertibile

f: ]-π/2, π/2[ → ℝ

f(g^-1) = tgg^-1: ℝ → ]-π/2, π/2[

g(x) = tg(x)

g³(y) = x

arctg(y) = la unica soluzione in ]-π/2, π/2[

g^-1(y) si chiama arctg

Proprietà

1. arctg(tg(x)) = x ∀x ∈ ]-π/2, π/2[
2. tg(arctg(y)) = y ∀y ∈ ℝ
3. arctg(y) è strettamente crescente
4. arctg(0) = 0
5. arctg(-y) = -arctg(y) ∀y ∈ ℝ
6. ∀c ∈ ℝ

lim _y→c arctg y = arctg c

lim _y→∞ arctg y = π/2

8. lim _y→-∞ arctg y = -π/2

Dim ∀c > 0 ∃δ > 00 : [...] ∀y > δ