Appunti Analisi 1

Lezione 16/10/24

Radici n-esime dei numeri complessi

Def. Sia α ∈ ℂ {0}, n ∈ ℕ, n > 2.

Si chiama radice n-esima complessa di α ogni soluzione complessa dell’equazione: zⁿ = α (equazione binomia).

Teorema sulle radici n-esime complesse di un numero complesso

Sia α ∈ ℂ {0}, n ∈ ℕ, n > 2.

Allora esistono esattamente n radici n-esime complesse di α distinte.

Più precisamente se: α = z (cos φ + i sen φ) allora le radici n-esime complesse di α sono

z_k = ⁿ√α [cos (^{φ + 2kπ}/_n) + i sen (^{φ + 2kπ}/_n)]

k = 0, 1, ..., n-1.

Dimostrazione

Se z_k = z (cos ψ + i sen ψ) è radice n-esima di α, quindi z_kⁿ = α.

z_kⁿ = e^{i (cos (nψ) + i sen (nψ))} = z (cos φ + i sen φ).

Dall'equivalenza dei numeri complessi in forma trigonometrica

z_kⁿ = e^iφ ↔ ^{φ + 2kπ}/_n = φ/n [cos (nψ) + i sen (nψ)].

Verifichiamo che i numeri complessi:

z_k = ⁿ√α [cos (^{φ + 2kπ}/_n) + i sen (^{φ + 2kπ}/_n)] ∀k ∈ ℤ sono radici n-esime complesse di α.

Infatti, z_kⁿ = ^(√α)n [cos (^{φ + 2kπ}/_n) + i sen (^{φ + 2kπ}/_n)] = √α(cos(ψ) + i sen (ψ)) = α.

Proviamo che z_k1 = z_k2 ↔ k₁ - k₂ è un multiplo di n.

Infatti, z_k1 = z_k2 ↔ i moduli sono uguali gli argomenti y^k + 2k₁π - (y^k + 2k₂π) = 2πΩnk₁ - k₂ + βn = ∀ β ∈ ℤ.

Se allora k₁ e k₂ sono distinti e stanno in {0, 1, ..., n-1} si sa che y_k1 ≠ y_k2 perché k₁ - k₂ non può essere multiplo di n.

0 ≤ k₁ ≤ n-1-(n-1) ≤ k₂ ≤ 0-(n-1) ≤ k₁-k₂ ≤ n-1.

Lezione 16/10/24

Radici n-esime dei numeri complessi

Sia d ∈ ℂ \ {0}², n ∈ ℕ, n > 2.

Si chiama radice n-esima complessa di d ogni soluzione complessa dell’equazione xⁿ = d. (equazione binomica)

Teorema sulle radici n-esime complesse di un numero complesso

Sia d ∈ ℂ \ {0}², n ∈ ℕ, n > 2.

Allora esistono esattamente n radici n-esime complesse di d distinti.

Più precisamente, se:

d = z (cos(φ + i sen(φ))) allora le radici n-esime complesse di d sono:

√_n(z) [cos(φ/n + (2kπ)/n) + i sen(φ/n + (2kπ)/n)] ∀k = 0, 1, ..., n - 1.

Dimostrazione

Se z = ρ (cos(φ + i sen(φ))) è radice n-esima di d, quindi zⁿ = d ⇒ e^{i (cos(nφ) + i sen(nφ))} == z (cos(φ + i sen(φ))).

∴ ρⁿ = √_nd ball’equivalenza dei numeri complessi in forma trigonometrica. (arg = φ / n^ρn [cos(nφ - φ) + i sen(nφ - φ)] = φ; φ = √_nd(nφ - φ = 2kπ per qualunque k ∈ ℤ.

Verifichiamo che i numeri complessi: √_n(z) [cos(φ/n + (2kπ)/n)] ∀k ∈ [sono radici n-esime complesse di d ↔ z_kⁿ = d.

Infatti, z_kⁿ = (√_n(z))ⁿ [cos(φ + (2kπ)/n), + i sen φ/n + (2kπ)/n] == [cos(φ + i sen φ)] = d.

Sia che cos la radice del caso la radice n-esima normale.

Provare che z_k = z_k2 ↔ k₁ - k₂ è un multiplo di n.

Infatti z_{k1 = zk2 ⇔ i moduli sono uguali √nd = √nd (identità)}

Per concludere la dimostrazione, proviamo che se _k ∈ {0,1,...,n-1} ∃ s ∈ {0,1,...,n-1} tale che √_k = √_s.

Infatti se k > 1, dividendo k per n, ∃q,s ∈ ℕ con s ∈ {0,1,...,n-1} tali che k = n·q + s.

√_k = √_l (cos φ_l+kπ + i∗sen φ_l+kπ) = √ (cos φ + 2(k+n+s)π) + i∗sen φ + 2(k+n+s)π = √_k = √_l (cos φ+2(kπ) + sen( ,n)) = √l (cos φ+2kπ + i∗sen φ+2kπ) = √_s.

Osservazioni

1) Radici quadrate complesse

Se α∈ℂ, n=2 allora le radici quadrate complesse di α sono di segno opposto.

Dim. α = √l (cos φ + i∗sen φ)

√_k = √l (cos φ+2kπ/2 + i∗sen φ+2kπ/2) con k = 0,1;

√₀ = √ (cos φ/2 + i∗sen φ/2)

√₁ = √ (cos φ/2 + i∗sen φ+π) + π/2) = -√₀.

2) Caso α reale positivo

Se α∈ℝ e α > 0, n=2 allora le radici quadrate complesse di α sono ±√α (dove √α è la radice quadrata aritmetica).

Dim. α = √ l∗ (cos φ + i∗sen 0)

√_k = √l (cos 2kπ/2 ∗α + i∗sen 2kπ/2) con k = 0,1.

√₀ = √α(cos0 + i∗sen0)

√₁ = √₀ = -√α.

3) Caso α reale negativo

Se α∈&Ropf; e α < 0, n=2 allora le radici quadrate complesse di α sono ± i√α.

Dim. α = | α| (cos π + i∗sen π) = (-α) (cos π + i∗senπ)

√_k = √ - α (cos π+2kπ/2 ∗α + i∗sen π+2kπ/2) √α

√₀ = √-α(cos φπ/2 + i∗sen φπ/2) = i√α

√₁ = -i√α.

4) Poligono regolare

Se l ∈ &Copf; &setminus; {0&Copf;}, n ∈ &Nopf;, n &geq; 3.

Le radici n-esime complesse di α stanno ai vertici di un poligono regolare di n-lati iscritto nel cerchio di centro O e raggio pari alla radice n-esima del modulo di α.

Esempi

1) Calcoliamo le radici cubiche di i e scrivile in forma algebrica

α = i = (cos φ + i sen φ)

φ=π/2

z_k= &sqrt[3]{r}(cos φ + i sen φ + &frac{2πk}{n}) k = 0,1,...,n-1

z_k= cos φ/3n + i sen φ/3n con k=0,1,2.

z₀= cos π/6 + i sen π/6 = &sqrt;3/2 + i/2

z₁= cos π/2 + 2π + i sen π/6 + 2π= cos 5π/6 + i sen 5π/6 = -&sqrt;3/2 + i/2

z₂= cos π/3 + i sen π/3 = - i.

2) α=1 n=4

1 = cos 0 + i sen 0.

z_k= cos 2πk/4 + i sen 2πk/4

k=0,1,2,3

z₀=1, z₁=i, z₂=-1 z₃=-i (a due a due opposte).

3) α=1 - 2√2i n = 2

1-2√2 = r (cos φ + i sen φ)

p=√1 + 8 = 3

&frac{cos φ} {sin φ} = &frac;{3} {3}

sen φ = -2√2

z_k=√r(cosφ+2πk/2)+isenφ+2πk/2

z_k√3(cosπ/2+i senπ/2)

Scrivilo in forma algebrica con le formule di bisezione.

cos ^ϕ/₂ = ± √^1+cosϕ/₂ sem = ± √^1-cosϕ/₂

-π/2 -π/4 0 quadrante: cos positivo sen negativo

cos ϕ = + √¹⁺³/₂ ; sen ϕ = - √^1-3/₂

ϕ = 3√3 √¹⁺³/₂ + i (√^1-3/₂)

y₁, y₂ = 0.

Equazioni di secondo grado in ℂ

ax²+bx+c = 0 con a,b,c ∈ ℂ e a ≠ 0.

ax²+bx+c = a(x²+b/a x + c/a) = a((x+b/2a)²+c/a) = a ((x+b/2a)² + b²/4a² + c/a) = a((x+b/2a)² - x²/4a² = b²-4ac/4a²)(x+b/2a)² = b²-4ac/4a².

Poniamo Δ_ℂ = b²-4ac.

(y+b/2a)² = Δ_ℂ/4a²

i) Δ_ℂ ≥ 0 ⇒ y₁ = -b/2a

ii) Δ_ℂ ≠ 0 Siamo in ℂ (i 0=√-1) le radici quadrate complesse di: Δ_ℂ

Allora (z+b/2a) = ±√Δ_ℂ/2a infatti (z+b/2a)² = b²/4a² - Δ_ℂ/4a².

y₁ = -b±√Δ_ℂ/2a

Formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

Caso particolare

a,b,c ∈ ℝ e a ≠ 0.

ax²+bx+c = 0.

Δ_ℂ = b²-4ac ∈ ℝ.

Δ_ℂ ≠ 0 ⇒ δ_ℝ = 0.

Δ_ℂ ≠ 0.

Δ_ℂ ≠ 0 ℂ 0.

i) Δ_ℂ > 0

y₁ = -b±√Δ_ℂ/2a

ii) Δ_ℂ < 0

y₁ = -b ± i √-Δ_ℂ/2a