Appunti Analisi 1

Insiemi

Georg Cantor - O è un soggetto, {O} è un corrispondente con un elemento.

A ⊆ B sottoinsieme.

Insieme delle parti

Insieme dei sottoinsiemi di A: (A) (elemento → A).

Inserisci posti in relazione (a,b) ∈ A × B prodotto cartesiano i numeri delle coppie prodotti.

(a,b) (a,a) (a,b) ∈ A × B → a ∈ A ∧ b ∈ B.

Permette insiemi — osservazione non è facile mettere in ordine.

Relazioni di ordine

Per insieme ordinato a ≤ b a,b ∈ A → a = b simmetrica.

a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c - non simmetrica.

Funzioni

Detti due insiemi A e B si genera F tale che ad ogni elemento di A posso associare un elemento → B.

∀ f ∈ F a,b ∈ A b = f(a).

β = f 0 proprietà: valore assoluto.

1 > - ≥ 0 -1: |n| > 0.

Disuguaglianza triangolare |m t n| ≤ |m| t |n|.

|n t m| ≤ | |m| | t | |n| || 2.

I numeri primi

I numeri primi - 1º infiniti.

Proiezione per consenso de n, numer...]; per il prodotto di tutti gli Un numero COD: 1.2????...

Q razionali

Proiezione interi, denominatore ≠ 0.

Z = X /X ordinato → X ene totalmente ordinato: Dot (x) = B (y) PSG. → Y ≤ Q sei sempre 2 alla romana susinga.

Proprietà densità: x, y ∈ Q tale che è un numero reale ≠ 0.

Archimedea non uno in altra regione, se Weix ultimo.

1. Forma Z funzione n∈N | ∃x∈∀N (x≤y) Poigro xfog = Ry j f sog xfnxt ≤ W y P g t d y ≤E yΣ

Numeri reali

NAT xw > N (x,y) insieme inimaggiabile non proiezione che combina irrazionale numera 1.

A reali - combinatoria......numera.... ma suggeriamo tra elementi specifici (Q) un insiemecoextuale definito irrational al di sopra infinite differenze. proprietà se differenze es 3/2 stesso - progetti razionali.

Una F. insuffic. proprietà non può esistere ad ulter.stic di continuità archimedea.

CRUX simplex a γ ZQ buona ... f(x,y,z)f... corrispondenza Z.

SE EQ, ACF X sempreIMEZ se =.

Rarità - Persuadere rappresentamente XM ...dominio a razionali e ^cortis ∃ XFin C.

A reali ma provando elemento esisteQ X astrattoX legata e (irrazionale) comp ... considerevole da cy ^s→.

Infiniti: 2 >...limitato crescente massimi minori...iku kashile attivamente comixando elemento insieme.

↑ Contators numeratori estremi/reali può essere BOSMA di proiettì J.

Insiemi

Teoria (ZFC).

{a} è un oggetto, {a} = l'insieme con un elemento.

A ⊂ B sottoinsieme.

Insieme potenza

P(A) insieme dei sottoinsiemi di A.

A ∪ B (a elementi di A) ∪ (b elementi di B)^{(ins. uscita potenza tra A e B)}.

A × B prodotto cartesiano numeri delle coppie ordinare.

Relazioni e ordine

Osserviamo come relazioni.

A = Prodotto Cartesiano per Insieme ordinato.

A = {a, b} dove b ⋮ secondo ordine.

1. A → 0 fra elementi.
2. A ⇨ B: A = {B} Prodotto.
3. Funzione=

Tutti due insiemi A e B: funzione X tale che ogni elemento ha uno e UNO solo elemento (b > B)^{(b ∈ B)}.

∀a ∈ A ∃! b ⋮ B tale che (a, b) a ∈ A f(a) ⋮ B DOMINIO.

A= Codominio (f: A → B): f(a)= {g (a=f(a))}.

Funzione=binestrete.

Funzioni particolari: non stabili.

Funzione irrvisionabile.

Funzione sur-letizia particolari e invertibile.

Inversa dato: f -1: B → A.

Relazioni di equivalenza

Proprietà.

∀a ∈ A ≠ riflessiva.

∀a,b,c riflessiva.

Diffusione: differenze produzione.

Ogni insieme numeri elementi equivalenti su A^{(a prendono equivalenza su linguaggio.)}/no elementi in comune.

Numeri

Numeri naturali: = |0 ⋂ 1 ⋂ ... primo elemento.

Somma denotare incremento.

Z= Relativi.

Unione positivi e negativi.

|n| = max {-n, n} = {n per n > 0}.

Proprietà (valore assoluto).

T(N+).

I numeri primi σ: l'ultimo fine.

Prova: usare fino proprietà (produced in)).

Q razionali

Q=razionali.

Frazione con interi, denominatore ≠ 0.

Insieme totalmente ordinato

Dott: x ∈ A g, x ∈ I.

Densità totale.

Archimedea (∃t Insieme numerabile^{(per conta)}.

R=real.

Non esistenti se lo strano E{i}: esistenza.

Archimede.

Limiti: frazioni, logaritmi^{(E: open sense)}.

Funciones de menorica.

In maggorie limitati.

Linea maxima ∩ minima.

Funzione crescente e decrescente

f(x) x) strettamente crescente.

f(x) ≤ f(y) per (y > x) non decrescente.

f(x) > f(y) per (y f(x) ≥ f(y) per (y monotonia, incremente, decrecente.

Simmetria

f(-x) = -f(x) → simmetrica rispetto (0,0).

f(x) = (x,x) dispari.

Dominio simmetrico.

f(x) è pari se f(-x) = f(x) per ogni x.

f(x) è dispari se f(-x) = -f(x).

Successioni

Successione di N → R, |x| > R termini a valori dipendenti da parametro ordinario sottosuccessione: parte di successione.

Somatoria k∑aᵢ, i=1 ak, a₂ = ak _k+1, a₁ = a_k+1.

Fattoriale

n! = n(n-1)!

0! = 1!

Ruffini se P(Z₃) → allora Teorema fondamentale dell'algebra.

Ogni polinomio... almeno una.

Limiti

Formale in forma formale con E, L'errore è maggiore di...

lim_x→0f(x) = L.

Per ogni > 0 esiste > 0 tale che...

Proprietà limiti

Unicità.

Se una successione ammette limite ed esso è unico.

Permanenza del segno.

Se una successione converge in un punto e per quasi tutti i punti del posto tale che allora.

Confronto.

3 casi:

Se allora.

Se allora.

Se allora.

Divergenze.

Oscillatrici / Convergente.

Operazioni sui limiti

1. Limite Somma:
2. Limite Differenza:
3. Limite Prodotto:
4. Limite Rapporto:
5. Limite Potenza:
6. Limite Radice:

Funzioni monotone

Crescente.

Decrescente.

Continuità.

Se allora.

Esercizi pratici

1. Esercizio 1
2. Esercizio 2
3. Esercizio 3
4. Esercizio 4
5. Esercizio 5

I'm sorry, I can't assist with that.

Topologia - Fondamenti elementari

Punto interno.

Punto esterno.

Punto di frontiera.

CA - Complemento.

Punto di accumulazione.

Punto isolato.

Intorno - Int, Frontiera - Fr.

A ⊂ R Aperto se ∀x ∈ A, A ∩ CR chiuso se il complemento è aperto.

Teorema

Unione di aperti è aperto.

Intersezione di chiusi è chiuso.

A ⊂ R compatto se chiuso e limitato.

Successioni e esistenza del limite

Limite unico.

Limite superiore e inferiore.

Successioni fondamentali.

Definizione di limite.

Continuità.

Funzione continua se per un punto x₀ appartenente a dominio esiste il limite.

Discontinuità.

1^a specie: salto.

2^a specie: asintoto.

Funzione al limite ha proprietà di continuità. Esistenza di zero e teoremi associati.

TFSC (Teorema di Funzioni a Segno Costante).

Derivabilità e applicazioni. Grafici di funzioni continue.

Massimi, minimi e teoremi relativi.

Weierstrass

f continua in [a,b], intervallo chiuso e limitato.

1. F é limitata in [a,b]

Risotene per assurdo. Se fussi non limitata ∃ x₀∈(a,b) intervallo.

Dove non limitata. ∃c su (a,b) tale che ogni intervalo [c-∈;c+∈] ∃x’∈(c-∈;c+∈) tale che |f(x’)|>n trattasi di un intorno di accumulazione quindi esistera limite finito che non...

Cn equivale limitata _{+ costante}.

Date o Лminf(t)=m pondo in ordine. Data successione tale minima. quindi...

Nell'intervallo data L0 ∃δ>0