Appunti Analisi 1

Revisionato il 18/07/2026

di nicoalbe55

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Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Zecca Gabriella

Università Università degli studi di Napoli Federico II

A.A. 2021-2022

127 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Simbologia principale del corso

∀ Per ogni

∃ Esiste

→ Implica

∈ Appartiene

∪ Unione tra due insiemi

∩ Intersezione tra due insiemi

∨ Oppure

Φ Phi - Greco

∪ Unione disgiunta

⊆ Sottoinsieme

∅ Insieme vuoto

(-2)a = a-a >6a<6(-a)6 = -a6(-a)(-6) = 36

Simboli matematici

∀ Per ogni

∃ Esiste

→ Implica

∈ Appartiene

/: Tale che

∪ Unione tra due insiemi

∩ Intersezione tra due insiemi

∨ Oppure

φ Phi-greco

⊆ Sottoinsieme

∅ Insieme vuoto

∃! Esiste ed è unico

∃̄ Non esiste

⊂∨⊃ Se e solo se

∉ Non appartiene

⋀ E congiunzione

⋁ Unione disgiunta

(-a)² = a-a > 6a < 6(-a)6 = -26(-2)(-6) = 26

Principali insiemi numerici

Naturali = N := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Interi relativi = Z := {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Numeri razionali -> N ⊂ Z ⊂ Q Q := {^m/_n : m ∈ Z ∧ n ∈ Z ∧ m ≠ 0}
Numeri reali = R := Q + elementi non razionali = √2, π, √3
Numeri pari - N_p := {m ∈ N : ∃ k ∈ N : m = 2k}
Numeri dispari = N_d := {m ∈ N : ∃ k ∈ N : m = 2k - 1}

N_p ∩ N_d = ∅ Non esiste un numero sia pari che dispari

N = N_p ∪ N_d

Dimostrazione che √2 non è un numero razionale

L'ipotenusa di ABC è √2 (teorema di Pitagora)

Prop. Non esiste alcun numero x ∈ Q : x² = 2

Ipotesi sia Q l'insieme dei numeri razionali

Tesi √x ∈ Q : x² = 2

Dimostrazione per assurdo

Negare la tesi

∃m∈Z∃n∈Nx = m/n

Descrivere un numero razionale

(m/n)² = 2 ⇒ m²/n² = 2

m² = 2n²

Perché se n = 0 n = 0 starei dicendo che 0/n = 2

Impossibile

Considero i numeri m e n come primi fra loro

m² è pari

n è pari

Descriviamo m come il doppio di qualcosa

m = 2k

m² è pari

n è pari

2m² = 4k²

Ciò significa che m² = 2k²

Assurdo! → Tesi vera

Proprietà - Somma e prodotto

Commutativa: a+b = b+a / a·b = b·a
Associativa: (a+b)+c = a+(b+c) / (a·b)·c = a·(b·c)
Distributiva: a·(b+c) = a·b + a·c
Neutri: a+0 = a / a·1 = a
Opposti: ∀a∈ℝ ∃b∈ℝ ⇒ a+b = 0
Inversi: ∀a∈ℝ-{0} ∃b∈ℝ-{0} ⇒ a·b = 1

Ordinamento su ℝ

Dicotomia: ∀a∈A ∀b∈B a≤b oppure b≤a
Asimmetria: se a≤b e b≤a ⇒ a=b
Se a≤b ⇒ a+c ≤ b+c
Se 0≤a ∧ se 0≤b ⇒ 0≤a·b

Principio di induzione

Supponiamo che una certa affermazione matematica che dipende da m sia vera per m=1 e che l'oltre sia supposta vera per m sia vera anche per il suo successivo m+1 allora la proposizione vera ∀m∈ℕ

P_m è vera (Base di induzione)

P_m prop matematica vera ⇒ P_m+1 è vera (Passo induttivo)

P_m è vera ∀m∈ℕ

Esempi

Formula di Gauss

∀m∈ℕ 1+2+3+...+m = ^(m+1)m/₂

m=11 (¹⁺¹/₂) ⇒ 1=1

Abbiamo dimostrato che la formula di Gauss è vera per m=1

Una volta dimostrato che la proprietà è vera per m=1, dobbiamo dimostrare per m+1⇒

Ipotesi : 1+2+3+...+m = ^m(m+1)/₂

Tesi: 1+2+3+...+m+m+1 = ^(m+1)+(m+1)/₂

⇒ 1+2+3+...+m+m+1 = ^m(m+1)/₂ + (m+1) ⇒ ^(m+1)(^m/₂+1)

Dato che questa formula è uguale a quella della tesi, l'ipotesi è vera, la formula è vera ∀m∈ℕ

Es 2: Disuguaglianza di Bernoulli

∀ m ∈ N ∀ x > -1

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

(i) m = 1 : (1 + x) ≥ 1 + x ⇒ 1 + x ≥ 1 + x VERA

(iii) Ipotesi tesi

(1 + x)^m+1(1+x)(1+x)^m ≥ (1 + mx)(1 + x)

1 + x + mx + mx²

1 + (m + 1)x + mx²

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