Analisi matematica - Teoria e dimostrazioni dei principali teoremi

Analisi matematica 2021-2022 teoria e dimostrazioni dei principali teoremi

Riccardo Bergamini

Università di Ferrara

C.D.L. Ingegneria meccanica

Riccardo Bergamini

Analisi matematica 2

Riccardo Bergamini

Analisi matematica

Sommario

Definizione di limiti (per successioni e funzioni, ad una e più variabili) e definizione di funzione continua (per funzioni di una e più variabili) ........................................................................................................................... 7

Limiti di successioni ....................................................................................................................................... 7

Limiti di funzione ad una variabile................................................................................................................. 9

Intorno ....................................................................................................................................................... 9

Punto di accumulazione .......................................................................................................................... 10

Limite ....................................................................................................................................................... 10

Permanenza del segno soft ..................................................................................................................... 10

Permanenza del segno strong ................................................................................................................. 11

Teorema del confronto ............................................................................................................................ 11

Limiti di una funzione a più variabili ............................................................................................................ 11

Palla ......................................................................................................................................................... 11

Insieme aperto/chiuso ............................................................................................................................. 11

Punto di accumulazione .......................................................................................................................... 11

Punto di frontiera .................................................................................................................................... 12

Chiusura ................................................................................................................................................... 12

Limite ....................................................................................................................................................... 12

Criterio delle due curve ........................................................................................................................... 12

Permanenza del segno strong ................................................................................................................. 13

Funzione continua in una variabile.............................................................................................................. 13

Funzione continua in più variabili ................................................................................................................ 13

Estremi superiore e inferiore .......................................................................................................................... 17

Criteri di convergenza per successioni e serie ................................................................................................. 19

Criteri di convergenza per successioni ........................................................................................................ 19

Criterio del confronto .............................................................................................................................. 19

“Infinitesima vs. Limitata” ....................................................................................................................... 19

Successioni monotone ............................................................................................................................. 19

Criterio della radice n-esima.................................................................................................................... 20

Criterio del rapporto ................................................................................................................................ 21

Teorema di Stolz-Cesàro .......................................................................................................................... 21

Criteri di convergenza per serie a termini positivi ...................................................................................... 22

Criterio del confronto .............................................................................................................................. 22

Criterio del confronto asintotico ............................................................................................................. 23

Criterio della radice n-esima.................................................................................................................... 24

Criterio del rapporto ................................................................................................................................ 24

3

Riccardo Bergamini

Analisi matematica

Criterio di condensazione di Cauchy ....................................................................................................... 25

Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile ...................................................................... 26

Criterio dell’assoluta convergenza .......................................................................................................... 26

Criterio di Leibniz ..................................................................................................................................... 26

Serie geometrica e serie armonica generalizzata ............................................................................................ 29

Serie geometrica ......................................................................................................................................... 29

Serie armonica generalizzata....................................................................................................................... 29

Teorema degli zeri e dei valori intermedi........................................................................................................ 33

Teorema degli zeri ....................................................................................................................................... 33

Teorema dei valori intermedi ...................................................................................................................... 34

Teorema di Weierstrass (in una e più variabili) ............................................................................................... 37

Teorema di Weierstrass ............................................................................................................................... 37

Teorema di Weierstrass in più variabili ....................................................................................................... 37

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy ................................................................................................. 39

Teorema di Fermat ...................................................................................................................................... 39

Teorema di Rolle .......................................................................................................................................... 39

Teorema di Cauchy ...................................................................................................................................... 40

Teorema di Lagrange ................................................................................................................................... 40

Formula di Taylor ............................................................................................................................................. 41

Teorema fondamentale del calcolo integrale ................................................................................................. 43

Criteri di integrabilità per funzioni di una variabile ......................................................................................... 45

Integrazione per parti .................................................................................................................................. 45

Cambio di variabile ...................................................................................................................................... 45

Limiti e asintotici notevoli ............................................................................................................................... 47

Dimostrazioni............................................................................................................................................... 47

Lunghezza di una curva e teorema di rettificabilità delle curve regolari ........................................................ 51

Lunghezza di una curva ............................................................................................................................... 51

Teorema di rettificabilità delle curve .......................................................................................................... 51

Versore tangente, versore normale e curvatura di una curva nel piano ........................................................ 55

Versore tangente ........................................................................................................................................ 55

Versore normale ......................................................................................................................................... 55

Curvatura di una curva nel piano ................................................................................................................ 55

Differenziabilità per funzioni di più variabili e teorema del differenziale totale ............................................ 57

Hessiana di una funzione e teorema di Schwarz ............................................................................................. 59

Gradiente e derivata direzionale ..................................................................................................................... 61

Insiemi di livello di una funzione ..................................................................................................................... 63

4

Riccardo Bergamini

Analisi matematica

Punti critici e studio della loro natura tramite l’analisi della matrice hessiana .............................................. 65

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange .......................................................................................................... 71

Integrali doppi e tripli ...................................................................................................................................... 73

Integrali doppi ............................................................................................................................................. 73

Integrali tripli ............................................................................................................................................... 77

Integrali di linea e superficie ........................................................................................................................... 81

Integrali di linea ........................................................................................................................................... 81

Integrali di superficie ................................................................................................................................... 82

Campi vettoriali conservativi: definizione e condizioni necessarie e/o sufficienti affinché un campo sia conservativo .................................................................................................................................................... 85

Teorema della divergenza ............................................................................................................................... 89

5

Riccardo Bergamini

Analisi matematica 6

Riccardo Bergamini

Analisi matematica

Definizione di limiti (per successioni e funzioni, ad una e più variabili) e definizione di funzione continua (per funzioni di una e più variabili)

Limiti di successioni

Il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione numerica.

{ } ⊂ ℝ

Sia una successione, ovvero una funzione la cui variabile discreta è un numero naturale, si ∈ℕ dice che essa è:

• Convergente, se esiste un valore tale che per una qualsiasi “soglia di errore” ε positivo, esiste un indice numero naturale tale che per ogni ∈ ℝ | − | < , ≥ |∀ > 0, ∃ ∈ ℕ ℎ − | < , ∀ ≥ .

In tal caso scriveremo lim = →∞

Un esempio di successione convergente è −1 = +1 > 0, che converge a 1. Per dimostrarlo applichiamo la definizione di limite.

Fissiamo un arbitrario ∈ ℕ vogliamo dimostrare che esiste un indice tale che −1 − 1| < , ≥ | +1

Ovvero −11− < < 1 + , ≥ +1 ⁄( − 1) ( + 1)

Osserviamo innanzitutto che il numero è sempre un numero più piccolo di 1, quindi l’uguaglianza di destra è sempre vera.

Risolviamo quindi la disuguaglianza di sinistra per vedere per quali n è vera: −1 (11− < ⟺ − )( + 1) < − 1+1 ⟺ (1 − ) + 1 − < − 1⟺ 1 − + 1 < − (1 − )⟺ 2 − < 2−⟺ < > 0.

Quindi, ricapitolando, una volta fissato prendo tale che 2− = " ≥ allora per ogni abbiamo verificata la disuguaglianza iniziale, ovvero −1lim =1 + 1→∞

• Divergente a +∞, se ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ ℎ > , ∀ ≥ .

La successione = log ( + 2) 2 > diverge a +∞.

Verifichiamolo usando la definizione appena fornita: preso un arbitrario numero 0, ∈ ℕ, vogliamo trovare un indice tale che log ( + 2) > ≥ 2.

Risolvo la disuguaglianza: osservo che la funzione logaritmo è monotona crescente (strettamente) e posso riscrivere ottengo quindi (2 ), = log 2 log ( + 2) > ⟺ + 2 > 2 ⟺ > 2 − 2.

Scegliendo quindi 7

Riccardo Bergamini

Analisi matematica

= " 2 − ≥ otteniamo che per ogni abbiamo verificata la disuguaglianza iniziale, ovvero lim log ( + 2) = +∞2→∞

• Divergente a -∞, se ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ ℎ < , ∀ ≥ .
• Irregolare, se non è né convergente né divergente = (−1)

La successione è irregolare.

I limiti godono di alcune proprietà, come l’unicità del limite:

Sia { } ⊂ ℝ una successione convergente tale che lim = lim = , allora = ∈ℕ 1 2 1 2→∞ →∞.

Usando la definizione di limite con e abbiamo 1 2 | |∀ > 0, ∃ ∈ ℕ ℎ − < , ∀ ≥ 1. 1 | |∀ > 0, ∃ ∈ ℕ ℎ − < , ∀ ≥ 2.

Se fisso = max{ , } 1 e 2 dovranno valere in contemporanea, cioè | | | |− < ∧ − < 1 2 quindi, in particolare | | | |− = − + − 1 2 1 2.

Per la disuguaglianza triangolare posso dire che | | | |− + − ≤ − | + | − 1 2 1 2 e dalle relazioni precedenti | |− | + | − < + 1 2.

Ovvero | |− < 21 2 > 0 = Essendo arbitrario, si ottiene come volevamo.1 2

Successione convergente limitata

Sia { } ⊂ ℝ una successione convergente, allora essa è limitata ∈ℕ = 1.

Fisso e chiamo il limite della successione, dalla definizione di limite |∃ ∈ ℕ ℎ − | < 1, ∀ ≥ 1 1 ovvero − 1 < < + 1 ≥ quindi l’insieme dei termini della successione per cui è un insieme limitato.

Mi resta da considerare i termini prima di e dimostrare che anch’essi sono un insieme limitato per concludere la dimostrazione.1

Prendo = min{ , , &hellip;