Analisi matematica 2

Sommatorie, successioni numeriche e serie

Sommatorie

Somma_{i = 1} ^N ∑ a_i i → indice di sommatoria, indice muto (metodo, ad esempio i non cambia significato).

Prop. ∑ c a_i = C ∑ a_i, C = costante.

∑ a_i + ∑ b_i = ∑ (a_i + b_i).

∑ C = C ∙ N, n. di addendi di sommatoria.

Traslazione di indici: ∑ a_k = ∑ a_{k + 1} = ∑ a_{k = 1 + m} = ∑ a_{i - m}.

∑ a_k = ∑ a_{n - k + 2} + ∑ a_{n - k}.

Somma progressione geometrica

Si dice che N termini sono in prog. geom. se il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è costante.

Prog. di ragione q e termine a₁ = 1.

_{k = 0} ^N ∑ q^k = (1 - q^{N + 1}) / (1 - q).

Fattoriale

Fattoriale di N = prodotto tra i primi N n. interi.

0 ∙ N_! = 0 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... (N - 1) ∙ N.

N_! = N (N - 1) !

0_! = 0! = 1.

0 se O ₁N^{(N - k) !} = N (N - 1) (N - 2) ... (N - k + 1).

Successioni numeriche

Funzione N → R il cui dominio sono i numeri naturali (interi non negativi) e legge che associa ad un numero n ∈ N uno e uno solo numero reale.

n → a_n oppure {a_n} es₁, a_i, a₂; ...

{a_n} si dice divergente se esiste il numero k tale che a_n ≤ H.

1. Lim inf se ∉ m t.c. a_n ≥ m ∀ n ∈ N (es ∞ 4).
2. Limitata se ∉ m, e tale che m ≤ a_n ≤ M.
3. … Esempi: 1/ ∞ 2) ∞ N⁴ 3) (-1)^N.

Socc. convergenti es limo a_n = L è convergente se esiste L e tale che ∞ → 0, preso E>0 piccolo ci piacere susceca |a_n - L| < EE.

L - E < a_n E + L.

Esempio a_n = N4 + 2 es limo N + 1/ N - 1 = 2x limo N(1 + 1/x) / (x⁵) optico.

Socc. divergenti quello che cresce di N → 0, ardelle succ. a → 1/x per afferm. divergence a > ∞ limo a_n = ∞ >> ∞ limo aⁿ = 0.

Socc. irregolari non esiste arnunto esempio (-1)^N (-2)^N.

Successe tendono a zero = infinitura es { 1/N } 1 / N² } infinito ≃ infinità.

Somma progressione geometrica

Si dice che N termini sono in prog. geom. se il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è costante.

Prog. di ragione q e termine a₁ = 1.

∑_k=0^N q^k = ^1-qN+1⁄_1-q.

Fattoriale di N

Prodotto tra i primi N num. interi.

0! N! = 1·2·3·...·(N-1)·N N! = N(N-1)! 0! = 1.

N! → permutazione.

Successioni numeriche

= Funzione N→&Ropf; il cui dominio sono i numeri naturali (interi non negativi).

È legge che associa a ogni numero N∈&Nopf; uno e un solo numero reale.

N → a_n oppure {a_n} {a_n} si dice Lim inf se ∃ m t.c. a_n>m ∀ N∈&Nopf; Lim sup se ∃.

3) Esempio 1/N esempi: 2) N² o N&sup4; 3) (-1)^N.

Socc. convergenti: lim a_n = L. Preso e > 0 ∃ numero intero k t.c. |a_N-L|<e.

Socc. divergenti succ. delle crescere di N →∞. Lim a_n = ∞.

Socc. irregolari non esiste limite esempio: (-1)^N.

Successioni monotone

Succ. monotone crescente se \( a_n \leq a_{n+1} \), strettamente se \( a_n.

Decrescente se \( a_n \geq a_{n+1} \), strettamente se \( a_n > a_{n+1} \) \(\forall n \in \mathbb{N}\).

Esempio: \( \{n\} \quad n^2 \geq 1 \quad n \in \mathbb{N}^+ \) cresc.

\( \frac{1}{n} \) \(\to\) \((-1)^n\) non monotona.

Teorema 1.1

Se \(\{a_n\}\) è succ. crescente \(\Rightarrow\) ammette sempre limite.

\(a_n = \sup \{a_n\}\) che può essere finito o infinito \( n \to +\infty \).

\(\sup \{a_n\}\) minimo dei maggioranti dell'insieme \(a_n\).

Adou vale anche per succ. decrescenti.

Es. succ. geometrica: \( \textit{monot. cresc.} \leftarrow \frac{q=1}{q \leq 1} q \neq 1 \) monot.

\( q=1 \leftarrow \textit{costante}\).

\( 1 \( |q| non esiste \( q \leq -1 \).

Serie numeriche

Data una successione di numeri reali \( \{a_n\} \) si dice che serie dei termini:

\( \sum_{N=0}^{\infty} a_n \).

Costruisco a testa successione \( \{S_k\} \) detta delle somme parziali della serie \(\sum a_n\) cioè:

\( S_0 = a_0 \; S_1 = a_0 + a_1 \; S_k = a_0 + a_1 + \cdots + a_n\) se tale succ. delle somme parziali \( \sum a_n \leftr