Teoria Analisi matematica 2

Spazi in MEN....R XR I

immSpaziIn MEN....R XR I ma= ,- Am)(ELEMENTI XJEi.........X: =i 011 0BASE LANONCA : = . .....= 01(0 1 .......n .......20 0= .* Xm)(X xz:OPERAZIONI = ..... . ...ij (y ym)yz= .. . -. . .- ERMI E* (x yw)+. xmy +, + ksonnt ++: = . --.. .2) prodotto scalare :con ↓ (A mthXEIR .....↓ : = , .ertè .dati chiariano↳: :Etsys# . eeprodotto sarare ~=Fi = em- V .# edaro ChiamiamoDEFi >x5* XE x2. -+1 L Norra+ Di+... Euclidea X== -1ij*Significato Noralain coincidegeometrico Dat con tae: fra idistanza eallora I V Ix /# : maise ==. .ir".. AlloraSianoEMMA E vij# i E e disuguaguanza di satwarzhaEs : per 2 sim =. /11i Card Schwarzdidisco= =>· -- 1=consideraterDIMOSTRAZIONE per: ty) (EE tij+Etj)= Vt tiR· -- - .= EyE . i.E z ti +- .= . -/12 /j/2t2t += - =1i" 2 ibpango a .= =.at" btQuindi VER+ 20c-at" ht + c- & X!Oatt-btl'eq quadratica può+sunque averac zoAl SOLUZIONEMassino UNAb" -dal positivo Soluzion- 2o=> -↓ / Il Ev4 -↑. /i VdC. .letta proprietà della nomar IlIl 20① em" * ==e: 0=I* (x)v5/(1xy② Ver :e =Er Netj viVi v③ : +e trantolaredisuguaglianzae0a mostrazione def.dacalcoliamo3) .( yi) 2(y() (F E - -i) )↓ ++ ++ +.= =2.= /+p+Didisug &SCWARZ - repzigEp += +rit)(1 +=orwindi Ne 1)(+ ve1) = +immElementi topologiadi inEIR"daroDef chiamiamosaro 30e- )Se e -1 raggioe) è& : l pala apena centrodi e= fer*adi diciamo che è- unisia:& pro egso tdi cinterno sea :.*Be ) A cale)bere)② dvedoaccumulazione di npro se :a.di =/r③ bert)deloisolan sedi a. :pro =& eaderente ad accumulazionepro solareprodise proa operaun un,la autiesedef del aderentepto EAor: 17AtEn: u(tik E (0)(0) 12 3)bA t == == =. 1Xinco &> tfe /11& di Biro)eintervi api : :e Ple2:biro)accomulazione e& per di ** It 301 Let =con= .ammette&oviene oore nfor chiamiamoi tir"1 È* ad① al parte interaè diintero a:= È/termE② adal diè laaderentepro chiusura: aun= a à fer"= e)Per n③ au latera: di= Al AVai AVale#: : AM"che 0 .diciamoDef A: =/=& Aso Se~ =~se apers . hanell'esempio precedente si :A 3 10/= , ulte= # ete3e0)h 2: = ..↓ lee i↓ er: ei" Vi*=la 1 u((t) 0) 3)-a et =: 2= :== .ne neA e apero chiuso-Domini FUNZIONIDi elf l'insieme↳ef funzione↓ una grandedivdominio: di in curL'espressione èper benanaltica definitafnotazione dan: ="-t1. f(x xx2) 1E : -= ... E X x21/(dam 2)/X(f) + : +=> = ..=(0) Insieme Chiuso"log (X2-4f(X +2)2) = .. ER ?(4)/dam (F) X25x /:=> = 1Xz* 2X += . (f)dom aperto-- *-x !log(XX x)f(x x) ++3. = --1.. ↑ IlSX X2yf2(X1Fr x. . .dadam dam(f) ! 1 fe(F= . 11/(rXi er2 Xdam (F) +. 2) := R Bro= Eir"1 XX)dam (f2) +2)/1 := =. e 1x11kisSixii) := Irite" 1x1)))Ern-1x <+n: += .dom (f 1X2:I X>-continuitàL Miti e =irmerDef Sia Asiaa f inoltresia:e .. # ilE di aaccorulazionepro Diciamoun di che.> >-perlernAmmette lu↑ scriviamolumire tende eche a!lim = Se-Xo ebar):630Eso (alli) frel-like:↓ ncoSignificato gegrete M im57 TE· *Llin.N fiB VALORE indipendenteIl essere: daldeveDi mod>cur XoatendeIn ·-fir" (10 il01) - dataEn da.f(x yy) =, *lim f(x y)VERFICIARD CHE .y)(x 0910=. ,la restrizioneconsidero f alla rettadi x- :y=frlin 2allaratrizione-comidero rettadila aversy yX y= - em- -him f(x -x) = =,= 0x Y& #↳f- ... no1f >- - >- Toazir" +ImDef f EAA siaSia : e,. fe incontinuad checamo seo lift-febs):beso nateso E- e'feDidar puntoche e a continuae secontinua in ogniinO>-Xt EProprietà Continuefunzionidi m↓ ir" aadteorema Siand figsia :e T EA Alloracontinuef sono continueviInSe g sonoe .NCe FUNZIONILeA f +Somt g- R scarle figprodotto-- gibeitm berw .teorema adira f: atlesiamo2) o,. IBfralchesupponiamoLe imm fra)Era: /frai : =En ea fede efg escontinua e seg continuain inAirk èla funzione : tocomposta gaf continuaallora ingofi)Ket gefi:. =# adirnDITeorema WEVERSTRASS fiazir: sia funzioneunasia eCONTINUAè che fechiuso alloralimitatoSe arrette Aina compatto , ,massimoMinimo e . felIm Particolare limitata,fiazirm che afe scalarecampo nel# Diciamo un se: . eche m22caro un campo verronale sedi bildeirilEn datafibiro esia: da,=E e e èbiloQuindi critataNonWritatacontinua f setma, ,* :ele= vbiro 1)oe = /=lim diverertrassteorema Non applicaQuindi Osservosi cheil .elB nonvor Insieme chiusoun-Funzioni di variabili calcolodue LimitidiAIR Fu yu)-- (Xa e accomulazioun piproF : = ,. .NE DI A* ( /> (x -y) y= .- - (40 yo)centrare inpolari :coordinare .+ ScadtoX = fot primay =I To d 2]10ded20- = : .yo)Xo1*E (y1 1x +-= -lim FIX M) Se2 solo see=,(x (x0y) y0)>=, .lim pca(d) -f(xo yo+Mup (8)Prim 0=,- vA DE DELT &limite eviste esisteilparticolare senon maIn se o ,perdiverso da alloraOè unienov arrette o,Teorema totaaeir": piosia accomulazionesia un die di afia-m continuael oinAllor -5) femf =-EN : :1 = Kig)-im Ebo1. f y)fix Se, g (x010 (x,y)09 ↑ (010)y)5y0)(10 = == ,-. ?e continua in 01- 10f .limDevo verificare Se y)f(x 0=,y)-(0(x 01, ,PolanIm Coordinate : prinoA ocoI/P primacaro =xup rup, 2E2T odezT DDE =rimocosMAN= OGEZTCONCLUSIONElim =Tag prima)fiscono oderts o-- fireirvenfichiaro che data dala funzione.2 ex yz+ yz) se (ca(y y") Mh(x + 00/y) +- ( - y) =-=, -yzx + 07(x 10)f(x Se y), v /=/= !e incontinua 8)10- . f(0In l 0)coordinare potroportr 0 0= == ,ep-cou(82) ein(o(plaosup -prima sup=,02De DELTDE suest-con /02)-him/p2 /= 2DTAYLOR : ep p o(pz)1 += P -+ 00(pca(p) 1 += o(p2 psim/p ) +=es-ca/p)-rimi") ipr-ip2 offer+lim em=> = prD 0= PDa -0=- Isola valariDifferenzialeCalcolo campii .azir" fiazirDef otaapertoSia insieme e siaun. e irw versoreuninoltrea5 d' finido il limiteEsisteSe ed F te) Fro+lim -t 0> t- o >-fe direzionechedicaro delvabile nella vinE Chiamiamo F= lu t -findiDirezionale AllDERVATALA to spetto&>DIREZIONE e = t+& *Particolare denvateCaso parzial:=> vestorese dellav canonicabase..... ,g *SCUVIAMO ) laEChiamiaric parzialeservata dvanabile X5espetto allaAnautico EniCALCOLO yarctan +Fir (*F(xy)I↑ - =. eE ex) egya2= (2++ e2by (e)& autony += pTEfi simlegz)In2) fixiviz) e=. exyz& rin(12z)z)x eyz=. etz17e Xzumlyz)2yzcarlz)& +Kyz1 == yz+caryz/exez& xyeim(y'z)Kiyiz) eOSS . solu1) 2 denvaleNel Esistonocaso m direzionali= , ifino) fikoydestra sinistrae f Modell=ho) fe dervabile torAllora inseEnotre = .- QuAnche InE CONTINUAQUIND mil cheinveceesistono innel funzioni unammettonocaso2) > continuepunto direzionalle nonderivatetutte sonomao ,>-XoIn-↑ differenziabilunzioni A preDef un* i) eir" topertale ce valeE Foly· -) /lf)Fr + -=equivalentemente Se.Em* -1 ol- suoll-li delgl significaa checorso : =lin o= Totafia-ir differenziabileIEOREMA sa in-3fe aperoylanoinAllora continuax lim# -live ofr=toe'f incontinua=>- siateirwSia aapertoinsiemeDef eun: A lein do tutte-ilche arrettasupponiamo fi Allora ChiamiatoparzialDervare .=......soGradiente infdi1 affi eirmb:N . afirm fia-ietegreta insieme apero siasia un .Totae' differenziabile soloseinyallora eseSeguentiValgono Afferazionile t① f denvare parziallewirearrete infer-f-aftim② O=* l o Allorail siache indifferenziabileesupponiamoan : ./f) tir"* chetale= -e)fi-fre) -Folly*) o(i) +. -Erperje/1 myDervare Siaparzial : ... -- .lim -fi== ..........10 Of= -↳ sissima componentcon Fottês(i)l'equazioneApplica ==tes) -f) Italy) testf to+=> ti to= tXs /It(40) + O=Quindi to =* Lim= t=ElAfi)=> differenziabilitàdefinizione cheseguedellaDalla ExolDa .fr -fr)lim - o=,* 11-1)-Xo Grvalgono=> agOViceversa soddisfaE Lasoddisfa yse allora, est) Dfrydifferenziabilità condefinizione della = ra-adir" fiabiapert e siaTegreta sistemasia un sea Allora f ammettedifferenziabile duinin . InoltreDerivare Direzional PerLeTutte OGNI·Et2 lieli Valecon Euf= toeEDir indifferenziabile. f() pf) ( -)fr &(v -① ++ +.= Toper=er ElSe z . 1 Allorac =. .frte-f· =lim t=* nell'egti Di+conco o .7f() =(ltz)f() (ti)tü)- + +- = . citilityfi) ita.=Quindi traE m cro-il implica cheteoremaapplicazioni esistese: eDfr).lieverte t2 c=. ... el toallora differenziabilefunzionela inf nonIr data daIEs -f :sia :: Et y)( 10 01=Se ..y)f(x =. 09Se(XO 50M) = ..e 01incontinua· 10 .· 2010)turre direzionaliammette le servare in .ere lele2 hasiperInfatti ogni con, fit-fo10 mE t ZuaFitzlim .= tt> th?the. !lim Vzv== +22+(E !+ v0 + 01Im Df100) quindiparticolare 10 e=, . EE mentreperogria frod u=->- fuseed100 witze 16 01differenziabile inFCONCLUSIONE Non .SeVerificareAlternativa : 01-af(0Fixml-fro Ky0lim 1 -. 0=10/01(in/ I(k= y/1/,y↑+lim e) X2 eg+= 0710(try) = . g(x y)= ,coordinate polari fe soloIn differenziabile in: SeSe soloElim primagipcoraMort u,deoI5) A caro/ Morprimagipcoralort mup, 081 percato/nindmal= GELDElin egixig) diffF0 In colorNon==> .xyltd0 . differenziabiltà 2yIcarogeometnco5 unificato della =mdepunto et(toedifferenziabilità youundi inLa .All'esistenzadel PianoEquivalente AlTangente Grafico DELLAfixo mo))punto Comoefunzione nel , .& yo)), f(Xo( ,o ,f(x /, #eX 10 go)S ,EQ Piano :Tangentedel yofyo)Df(xu (x Xo y-(x0z ya) + -= . --. ,fe diff Nu go) AllorSe in .. .zf(x y) 0-lim / =yo)1(4 40Hin/ (u y-Mur -,/ .Aer Un fiazirDef sist Aperto sias e. .chia)eche f classedi scrvianoDiciamo eifela) in a tute parzialdenvarefarrete lese.EsseSe ContinueE sono alle aperodifferenzialedel totale sia untegrera e Sia: gonicia) e EaAllora differenziabilee- in.- Fè Continuadifferenziabilefectrai e=y ↓ ↑ Amme