Analisi matematica 1a (parte 6)

GunzdideaPossono limiteladine diSi con propdalleteorema ponteilattraversoricavanosio Proprietà elementari dei limiti di funzione – AA 2021/22

giàche CdL Matematica – Prof. A. Baldidelleabbiamosucc (Unicità del limite)

Teorema 1

Siano e una funzione a valori reali. Siano e . Se R R R✓ ! 2 2A f : A x D (A) y , y0 ext 0 1, e , allora .lim f (x) = y lim f (x) = y y = yx!x 0 x!x 1 0 10 0

Vale, come nel caso di successioni, (con lal’algebra dei limiti e l’algebra dei limiti estesidovuta attenzione a non avere forme di indecisione) e dunque diremo che ”il limite della somma è lasomma dei limiti”, ”il limite del prodotto è il prodotto dei limiti” etc...

Per funzioni convergenti si ha:

Teorema 2: algebra dei limiti

(Algebra dei limiti).Teorema 2Siano Sia e siano tali che eR, R. R✓ ! 2 2A f, g : A x D (A) L, M lim f (x) = L0 ext x!x 0.lim g(x) = Mx!x 0

Allora

• 1) La funzione ha limite eR!f + g : A lim (f + g)(x) = L + M .x!x 0 l'usodimla con
• 2) La funzione ha limite eR!f g : A t pontedellim (f g)(x) = lim f (x) g(x) = LM .x!x x!x0 03)
• Se allora la funzione ha limite e6L = 0 1/f 1 1 1lim = = .f (x) lim f (x) Lx!x x!x0 0

Come per le successioni osserviamo che se alloraOsservazione: R,2l() () |flim f (x) = l lim f (x) l =0 lim (x) l| = 0x!x x!x x!x0 0 0(per vederlo basta scrivere le rispettive definizioni).

In analogia al caso delle successioni per l’algebra dei limiti estesa si ha:

Teorema 3: algebra dei limiti estesa

(Algebra dei limiti estesa).Teorema 3Siano SiaR, R.✓ ! 2A f, g : A x D (A).0 ext (superiormente)

• 1)(1) Se e se per la funzione è definitivamente limitata,!lim f (x) = +1 x x g inf eriormente x!x 00 allora 1)( ,lim (f + g)(x) = +1x!x 0 1) 1)( ((in particolare si ha che , se e se esistelim (f + g)(x) = +1 lim f (x) = +1x!x x!x0 01(+1)e ).6 1lim g(x) = M M =x!x 0
• 2) Se e allora esisteR \ {0}lim f (x) = +1 lim g(x) = M =2x!x x!x0 08< 2+1 se M ] 0, +1]·lim (f (x) g(x)) =x!x 0 : 1 2 1,se M [ 0 [ .
• 3) Se e è definitivamente limitata per allora!lim f (x) = 0 g(x) x xx!x 00·lim f (x) g(x) = 0.x!x 0 1)((<)
• 4) Se e per ogni si ha allora esiste .12 \ {x }lim f (x) = 0 x A f (x) > 0 lim = +1x!x 0 x!x f (x)0 0(1)
• 5) Se allora esistelim f (x) = +1x!x 0 1lim = 0 .f (x)x!x 0

Si hanno le cosiddette che riguardano i casi che non rientrano nel teoremaforme di indecisioneprecedente:

• Per la somma “1 ” (quando una funzione diverge a e l’altra diverge a1 1);+1
• Per il prodotto “0 ”, (quando una funzione è divergente e l’altra infinitesima);· (±1)1
• Per il quoziente “ ” (quando entrambe le funzioni divergono),1
• Oppure “ ” (quando entrambe le funzioni sono infinitesime).00

Valgono inoltre:

Teorema 4: permanenza del segno

(Permanenza del segno) Siano e Se ed esisteTeorema 4 R, R. R✓ ! 2 2A f : A x D (A) l0 exteserciziotale che Per(risp. l<0)lim f (x) = l > 0 . eCER ox!x 0

Allora esiste un intorno di tale cheU x l0 (risp. f (x)<0)f (x) > 0 letto livedidiveper ogni . dalle2 \ {x }) \x (A U0 SuccdiRicordiamo inoltre la seguente proprietà che è una generalizzazione del teorema della permanenzadel segno.

Se e esiste un intorno di tale che per ogni .R! 2 2 \ {x }) \f (x) l m < l U x f (x) > m x (A U0 0

Se e esiste un intorno di tale che per ogni .R! 2 2 \ {x }) \f (x) l l < M U x f (x) < M x (A U0 0

In particolare

Se esiste un intorno di tale che è Limitata per ogni .R2 2 \ {x }) \l U x f (x) x (A U0 0 èlinfamentre poichelocale2 (risp. superiormente limitata)1)(risp.Se esiste un intorno di tale che è per ogni 2l = +1 U x f (x) inf eriormente limitata x0.\ {x }) \(A U0

Vale inoltre il seguente

Corollario: confronto

(Confronto) Siano Sia SeCorollario R, R.✓ ! 2A f, g : A x D (A). lim f (x) <0 ext x!x 0 EXolim g(x)x!x 0 th oallora esiste un intorno di tale che per ogni .2 \ {x }) \U x f (x) < g(x) x (A U0 0 EEEogif GIA

In analogia a quanto visto per le successioni, enunciamo il teorema dei due carabinieri nel caso di valenonmalimiti reali e di un solo carabiniere nel caso di funzioni divergenti: 0C

Teorema 5: dei due carabinieri

(Dei due carabinieri) Siano e SiaTeorema 5 R, R.✓ ! 2A f, g, h : A x D (A).0 extSe e esiste un intorno di tale cheR2lim f (x) = lim h(x) = l U xx!x x!x 00 0   2 \ {x }) \f (x) g(x) h(x) perogni x (A U diaLo0 conPonteTeoallora esiste lim g(x) = l .x!x 0

Teorema 6: un solo carabiniere

(Un solo carabiniere) Siano e sia Siano tali cheTeorema 6 R R✓ 2 !A x D (A). f, g : A0 extesiste intorno di tale cheU x 0  2 \ {x }) \f (x) g(x) perogni x (A U .0

Allora

• 1) Lim f (x) = +1 =) lim g(x) = +1 ;x!x x!x0 02)
• 1lim g(x) = =) lim f (x) = +1 .x!x x!x0 03carabinieriDim to 2 algrazie teoremaftp.aflAla fil pontedireequivale chea Aikosucc Teapresa inXp toyou de per stoaActa deDefinitivamente Ucalata in poiche thenIn EIN T.CUn Alla InE Xu EUn àdunque per ipotesiLcnflute gun e etimoniMa Listata succcarabinieriil Dei perTeoD per e9haIIIallora il teorema