Analisi matematica 1a (parte 2)

Esercizio SER1 induttivo

Esercizio SER1 induttivo IR SMENXE EM trovare vale 2 controesempio che un provi che se S ESESX Y E D TU variabile nella significativa n affermazione p n Fn N esempio è n pari enII YI FU E N esempio 27 n Sia lER allora ianoxxx esempio KEN la dichiamiamo disuguaglianza Bernoulli.

Teorema: principio di induzione

Teorema: (Principio di Induzione) Sia pin che dipende da una n proposizione che supponiamo valgono.

• Passo base plot vera è 1 In en2 pin Pinti se induttivo vera.
• D passo vera E N An allora pin è vero.

Dimostrazione

Dimostrazione S in è Poniamo per vera ne S N la tesi è Ne S costruzione per 1 N è il piccolo poiché S.

Prova che induttivo è Sottoinsieme induttivo il base S Plo è per pero vera e ipotesi posso induttiva espin defs S è per di vero ne induttivo induttivo per ma ipotesi posto pin è penti è vera p vera è allora S pinti vera poiché mie DIEN NSS è induttivo di P.

Utilizziamo dimostrare induzione

Utilizziamo dimostrare induzione per N fre è pari nan Piobase Passo la scelta Oss è 2 Oto pari parità o della di è o arbitraria induttivo passo pini Ipotesi vera na n pari Pinti vera tesi Inti tinti pari n'ti tanttinti ntina partita è IntIaaf poiché pari 2k F KER fa allora pin vero.

Disuguaglianza di Bernoulli

Bernoulli di Disuguaglianza R Sia EX x i IN fa X e I HMX base Posto 1 è vera Plo II ho vera oxit.

Passo 2 induttivo ipotesi Pln txt Uxit vera play tesi vera x e ht Per plu HX moltiplica ItxHX HmxHX I PIN MAI XItNX nX UX ne t'gone It UtiIta essendo 20NXna It La disuguaglianza vale.

Teorema: principio del minimo buon ordinamento

Teorema Principio del minimo buon ordinamento Se E IN allora non vuoto I Emin.

Dimostrazione per diurdo IN Une N quindi Eno omin Ke Poiché XEN XOEM Idi è minoranze o un ovvero limitato X è inferiormente I di IR completezza D teorema inf E è Fn XE94 n il minimo Dovrei sarebbe X che così qe provare per assurdo lo X che X e a suppongo è sennò omin 97 O consideriamo e 9 tiq inf caratt 994 per It già fX colti CE che neghiamo sia ati 975 per perche minorante X ipotesi 9 ladi utilizzo caratterizzazione di nuovo inf dell'insieme E è non minoranze perche inftti 9 è e9 e ing carote pertu X perciò tee Kca9C trovato abbiamo.

Dunque faKCAL Kal Ati quanto KT K insul reteva A AtiK KO la IA nein fra K ci sono IOL ma non yn e0 1 Assurdo.

L'assurdo dall'aver che è 9 non supposto nato a appartenesse X Dunque E9 l'inf è x min x è e qq.

In dimostra simil maniera analoga che Se INX Teorema E vuoto non 7 superiormente limitato allora X max 9 esercizio.

Def dei numeri interi

Def dei insieme numeri interi RZ E INERIINZ U E ossi IN poiché 22 sup soinf 7 ose 7m er temio IZ IMEZ E allora sone E mz sarebbe nee maggun S IR 2XXE di 2 che fatto contraddice che il S 245 Esmae SophI to.

SER1 induttivo e sottoinsieme induttivo

SER1 induttivo SXES MEN EM trovare 2 controesempio che un provi non che vale se S es ESX Y E tu ININ il è sottoinsieme induttivo piccolo g poiché se m o ES ipotesi X pero se mai Sei dell'induttivo per ipotesi AMENESX M.

Esercizio limitato

Esercizio limitato XIN FI X sup EI max X ha X almeno un 9 maggioranze X assurdo per aCIC9 9I Te X Con è E ti perché 9 non maggiorante 7h EX ALMICI hit oso aahb Laohei t oa h.atha ito E ohit ma naturali ci non essi tonoo IN fra eo 1 Assurdo Pgefea maxx Baldi6110 È 74.

Teorema sottoinsieme non vuoto

Se è di Teorema sottoinsieme non vuoto 7 min allora limitato IIl inferiormente 1 è Inox E superiormente 2 In CIR se particolare 2 ZERII EE Ex lo c'è ose negativi x e20q perché Fn se NLO EoD X perciò n na perché _neatenituedeo Idi è un maggioranze il per il teorema sopra esiste Max lo si Max CIZZEZ indica E x lo chiameremo parte intera grafico EEs Parte E 3 intera 4 4 21,5 PEERE Dti Ex.

Def dei numeri razionali

Def dei razionali insieme numeri Il IR di A sottoinsieme A fNilo Ip IR 2,9e exe X OSS EQ PEZZ se E pin fo dopo oa è totalmente ordinato campo un E IR.

Perché è è che completo invece non Ma prima te a razionali esistono numeri non 2.

Dim per assurdo 7 12 che esista 2E che Spia assumere Ee possiamo o FIN esistono pen Quindi lo Ze qe che supporre siano possiamo p 9 e tra primi e loro comuni divisori sono ciovvero non 12 zar P2PE se 2 2 P dispari Esper è è quindi p pari p pari I contronominale appare pari p FIFÌ 12Kp292K 29224k dunque 92 È 242 pari al ISEN I 28 pari pari 9D a perciò entrambi sono Ma Primi loro pari tra sono non on Assurdo 92 supposto che 2 aver da è l'assurdo nato AMeCon.

Teorema: il campo non è completo

Teorema Il O campo è completo non Q separati A ed B e facciamo vedere e che in separatore elemento trova un si ma non.

Dim al A D ee UXE O 2soQ 2E Ox 2B Mostro A che separati sono e fa the A B be a a.CAsu con a posso o ragionare A 92 se Ea a 2e obe 5se b b 2o52a 2 5 92 b abb ao oa To edyetb ab Da oBA quindi separati sono e fosse dovrebbero se completo a se esiste r the Ata Bb particolare aeasse o in12 AEA moxa1 A2 D AB12 BminEA2 DD212 verificato è ed esiste lemma dal3 non2 sease l'assurdo A rivelasi dimostrasi quando che non ha B ha min perché e non max fra nessuna è valida e l'affurdo supposto di nasce l'esistenza ave.