Analisi matematica 1, 5-6 Calcolo integrale (definito e indefinito)

Definizione integrali definiti

Trapezoide di f

Trapezoide di f: Data f: [a,b]→ℜ, f(x)>0∀x∈ℜ chiamiamo trapezoide di f: T(x,t)∈ℜ²: a≤x≤b, 0≤y≤f(x) ∈ℜ²

Usiamo l'integrale definito per calcolare l'area del trapezoide.

Integrale definito di Riemann

Dato f: [a,b]→ℜ ƒ limitata, consideriamo:

• ∀n ∈ ℕ, n>1, la suddivisione di [a,b] in parti uguali x₀=a/x₂=a+h/x₃=a+2h/.../x_n=a+nh=b   h=(b-a)/n
• Prendo un valore c interno ad ogni intervallo (x_i-1, x_i) casuale e considero il rettangolo che ha come base l'intervallo e come Σ_i=1ⁿ f(i)*(x_i-x_i-1)= ∑_i=1ⁿ f(i)*b-a/n = lim S to ∞

Se f è integrabile in [a,b] chiamiamo integrale di f: ∫_a^b f(x) dx = lim S_n → ∞

Oss. 1

Per def. il significato generico di ∫_a^b f(x).dx

Area(T) = ∫_a^bf(x).dx con f(x)>0 = Area(T) = -∫_a^bf(x).dx con f(x)<0

In generale

∫_a^b f(x).dx = Area(T₁) - Area(T₂) 1) ∇ Area(T, T)

Definizione equivalente

• &ForAll;n ∈ &naturals;, n>1 consideriamo la suddivisione x₀=a/x₁/.../x_n=b con x_i=x_i-1 = ampiezze anche diverse
• Per n fissato come in (1) definiamo (per f limitata f=inf, Mi=infini): SO ∀inf M_idx = mi ∀i SOMMA SUPERIORE   S_n = &Sum; M_i (x_i-x_i-1) SOMMA INFERIORE   S_n = &Sum; m_i (x_i-x_i-1)

Definizione integrali definiti

Trapezoide di ƒ

Trapezoide di ƒ. Data ƒ: [a, b] → ℝ limitata, ƒ(x) > 0∀x ∈ [a, b], chiamiamo trapezoide di ƒ: T(x, ξ) ∈ ℝ: a ≤ x b, 0 ≤ y ≤ ƒ(x) (ξ ∈ ℝ)

Usiamo l'integrale definito per calcolare l'area del trapezoide.

Integrale definito per qualunque segno di ƒ (ma solo l'area di ƒ integrabile)

Integrale definito di Riemann

Data ƒ: [a, b] → ℝ limitata, consideriamo:

• ∀n ∈ ℕ, n > 1, la suddivisione di [a, b] in parti uguali x₀ = a / x₁ = a + h / x₃ = a + 2h / ... / xₙ = a + n · h = b h = b - a
• Prendo un valore c interno ad ogni intervallo [x_i, x_i+1] casuale e considero il rettangolo che ha come base l'intervallo e come altezza ƒ(c).
• ↑ aumenti n, è più l'area sarà precisa

Sₙ

Somma di Cauchy n-esima = somme delle aree di n rettangoli

S_Oₙ = ∑_i=1ⁿ ƒ(ɸ_i)(x_i - x_i₋₁) = ∑_i=1ⁿ ƒ(ɸ_i) b-a/n

Tutte le somme di Cauchy devono avere limite finito e uguale.

ƒ è integrabile se ƒ (secondo Riemann) in [a, b] e chiamiamo integrale di ƒ: ∫_a^b ƒ(x) dx = lim S_n n → ∞

Oss. 1

Per def. il significato generico di ∫_a^b ƒ(x) dx è l'area del trapezio.

Area(T) = ∫_a^b ƒ(x) dx con ƒ(x) ≥ 0

Area(T) = -∫_a^b ƒ(x) dx con ƒ(x)

In generale

∫_a^b ƒ(x) dx = Area(T₁) - Area(T₂)

Oss. 2

∫_a^b ƒ(x) dx = lim _{n+1 → ∞} ∑_i=1ⁿ ƒ(ɸ_i)(x_i - x_i₋₁)/ƒ(x)(x = variabile muta), dx intervallo infinitesimo

Oss. 3

Definizione equivalente

• ∀n ∈ ℕ, n > 1, consideriamo la suddivisione x₀ = x₁ ≤ x₂, ... x_n = b con x_i - x_i+1 di ampiezze anche diverse
• Per n fissato come in (1) definiamo (per ogni intervallo x_i, M_i finiti): S_n = ∑_i=1ⁿ M_i (x_i - x_i-1), m_i = inf_{xi ≤ x ≤ xi+1} M_i (x_i - x_i+1) inf_{xi ≤ x ≤ xi+1}

f integrabile in [a,b] se tutte le somme inferiori e superiori hanno: supS_inf = infS_sup ∈ ℝ

∫_a^bf(x) dx

Purtroppo nessuna di queste def di integrale definito è operativa (possiamo usarlo solo per integrali molto semplici)

∃ c∈ℝ limS_inf S_n=C·(b-a)

Integrale di una