Analisi matematica

Analisi

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Indice

Calcolo differenziale - 1 10 Insiemi numerici 10 Intervalli di R 11 Notazione per l’intervallo 12 Funzioni 12 Grafico di una funzione 13 Immagine funzione 14 Iniettiva 16 Surgettiva 17 Bigettiva 18 Costruzione dell’inversa 19 Operazioni sui grafici 21 Traslazione verticale 21 Traslazione verso destra o sinistra 21 Solo valori positivi 21 Simmetria rispetto all’asse x 21 Simmetria rispetto all’asse y 22 Simmetria rispetto all’origine 22 Funzioni monotone 22 Differenza tra crescente e decrescente 23 Crescente 23 Proprietà 24 Decrescente 24 Debolmente crescente 24 Strettamente crescente 25 Strettamente decrescente 25 Funzione non monotona 25 Composizione di funzioni monotone 26 Insieme di definizione o dominio naturale 28 Funzione pari e funzione dispari 28 Funzione periodica 29 Funzioni elementari 30 Funzione lineare 30 Funzione potenza 31 Funzione potenza fratta 32 Funzioni esponenziale 33 Caso speciale 33 Funzione logaritmica 34 Funzione potenza Q 35 ∉Seno e arcoseno 35 Coseno e arcocoseno 36 Tangente e arcotangente 37 Analisi Massimi, minimi, maggiorati, minorati, … in una funzione 38 Retta reale estesa 47 Operazioni in retta reale estesa 47 Operazioni non permesse (Forme indeterminate) 47 Operazioni valide 47 Valore assoluto 48 Proprietà di |x| 48 Disuguaglianza triangolare 48 Continuità 49 Continuità in un punto 49 Continuità in un insieme 50 Permanenza del segno 50 Dimostrazione 51 Corollario 51 Dimostrazione 51 Teorema sulla continuità di f + g, f * g, |f| 51 Continuità della funzione invertita 51 Continuità delle funzioni elementari 53 f(x) = x 53 Funzioni razionali 53 Funzioni trigonometriche, e e logaritmi 53 Continuità g f 53 ∘Estremo superiore / inferiori e continuità 54 Teorema degli zeri 55 Teorema dei valori intermedi 56 Teorema di Weierstrass 57 Intorni 58 Intorno destro e sinistro 58 Intorno +∞ e -∞ 58 Punto di accumulazione 59 Punto isolato di A 60 Punto interno di A 61 Minimo e massimo locale 61 Limiti 62 Limite da destra e da sinistra 65 Continuità a destra e a sinistra tramite limiti 66 l+ e l- 67 Teorema permanenza del segno 68 Non esistenza del limite 69 Teorema di confronto 70 Teorema dei carabinieri 72 Teorema somma e prodotto di limiti 73 Funzione limitata in un intorno di x0 74 Infinitesimo, diverge, converge 74 Analisi Teorema con funzione limitata inferiormente, superiormente e limitata in un intorno dix0 75 Limite del reciproco di una funzione 76 Limiti con punti inferiori e superiori 76 Funzione debolmente crescente 76 Funzione debolmente decrescente 77 Teorema del limite del prodotto 77 Limiti fondamentali 78 Limiti notevoli 81 Limite della composizione di funzioni 82 Confronti tra infiniti e 0 83 Esponenziale e potenza 83 Logaritmo e potenza 84 Nuove forme indeterminate 84 Teorema di Weierstrass generalizzato 84 Infinitesimi 87 o-piccoli 87 Proprietà degli o piccoli 88 Sviluppi di funzioni elementari 89 O-grande 90 Parte principale 91 Asintoti 92 Asintoto orizzontale 92 Asintoto verticale 93 Asintoto obliquo 94 Derivate 95 Cosa sono? 95 Rapporto incrementale 96 Differenziabilità 96 Teorema derivabilità e continuità 96 Dimostrazione 97 Derivata destra e sinistra 97 Punti 98 Punto angoloso 98 Punto di cuspide 98 Tangente 98 Derivate successive 99 Funzione di classe Cn 100 Teorema derivazioni f e g 100 Derivate funzioni elementari 100 Derivata dell’inversa 102 Derivata della funzione composta 102 Derivate e funzione deb. crescente o deb. decrescente 103 Dimostrazione 104 Analisi Teorema di Fermat 104 Dimostrazione 104 Teorema di Rolle 105 Dimostrazione 105 Teorema di Lagrange 105 Dimostrazione 106 Conseguenze di Lagrange 106 Teorema - 1 106 Dimostrazione punto 4. 107 Proposizione - 2 107 Teorema - 3 109 Teorema di De l’Hôpital 110 Corollario di de l'Hôpital 113 Formula di Taylor 114 Formula di Taylor con resto di Peano 114 Formula di Taylor con resto di Lagrange 115 Formula di taylor ex 115 Formula di taylor seno 116 Formula di taylor coseno 116 Formula di taylor logaritmo 117 Formula di taylor tangente 117 Formula di taylor arco-tangente 117 Formula di taylor binomiale 117 Esempio di utilizzo delle formule di Taylor 118 Convessità 118 Funzione convessa 118 Funzione concava 119 Teorema 121 Condizione 2 - f’ crescente 122 Proposizione 1 123 Proposizione 2 124 Punto di flesso 125 Studio di funzione 129 Calcolo integrale 132 Integrale definito (di Riemann) 132 Suddivisione di un intervallo 132 Somma inferiore e superiore relativa alla suddivisione A 133 Definizione di integrale definito 133 Condizioni necessarie per integrale 134 Limitatezza 134 Non necessariamente continua e positiva 134 Condizioni sufficienti per integrali 135 Continuità 135 Proprietà integrale definito 137 Analisi Dimostrazione terzo punto 138 Dimostrazione quarto punto 138 Dimostrazione quinto punto 139 Media integrale 139 Teorema della medie integrali 140 Dimostrazione 140 Integrale negativo 140 Formula di spezzamento con integrali negativi 141 Integrale neutro 142 Integrale indefinito 142 Concetto di primitiva 142 Integrale indefinito 143 Calcolo integrali indefiniti 144 Somma 144 Prodotto 144 Teorema fondamentale del calcolo integrale 144 Dimostrazione 144 Teorema di Torricelli 145 Teorema degli integrali con estremi variabili 146 Tecniche di integrazione 147 Integrazione per parti 147 Dimostrazione 148 Integrazione per sostituzione 148 Dimostrazione 151 Integrali di funzioni razionali 151 Denominatore di grado 1 151 Cosa succede se il grado del numeratore è >= di quello del denominatore? 152 Denominatore di grado 2 152 Caso 1 152 Caso 2 152 Caso 3 154 Caso generale 154 Cosa succede se il numeratore è di grado 1? 154 Cosa succede se il numeratore è di grado > 1? 155 Denominatore grado maggiore di 2 156 Esempi riassuntivi 156 Integrali impropri o generalizzati 156 Che cosa sono? 158 Tecnica dello spezzare l’integrale 159 Funzione non limitata sia vicino a e b 159 Integrale improprio normale 161 Funzione non limitata in un punto interno all’intervallo (asintoto) 161 Proposizione 164 Dimostrazione 164 Analisi Integrali impropri notevoli 165 Criteri per studiare la convergenza di integrali impropri 167 Criterio del confronto 167 Criterio del confronto asintotico 167 Criterio dell’assoluta convergenza (per funzioni a segno variabile) 168 Esempi riassuntivi 171 Successioni 177 Che cosa sono? 177 Introduzione dei limiti di successioni 178 Definitivamente vero 179 Sottosuccessioni estratte 179 Limiti sottosuccessioni - Perché sono importanti le sottosuccessioni? 180 Monotonia nelle successioni 181 Limitatezza 182 Minimi e massimi nelle successioni 183 Limiti di successioni 184 Legame tra limiti di funzioni e successioni 184 Calcolo dei limiti di successioni 185 Criterio del rapporto e della radice 188 Criterio del rapporto 188 Confronto di n! con nk, bn, nn 189 Criterio della radice 190 Serie 192 Definizione di serie 192 Esempio - Serie geometrica 193 Condizione necessaria 195 Dimostrazione 196 Operazioni tra serie 196 Somma tra serie 196 Prodotto tra serie 197 Serie definitivamente a termini positivi 197 Dimostrazione 198 Criteri di convergenza 198 Criterio del confronto 198 Criterio del confronto asintotico 199 Criteri della radice e del rapporto 200 Criterio della radice 200 Dimostrazione 200 Criterio del rapporto 201 Dimostrazione 201 Legami con gli integrali impropri 201 Criterio dell’integrale 202 Serie a segno arbitrario/variabile 203 Convergenza assoluta 203 Analisi Criterio dell’assoluta convergenza 204 Dimostrazione 204 Serie a segno alterno 205 Criterio Leibniz 205 Esempi di avvertimento 206 Calcolo differenziale - 2 206 Introduzione 206 Struttura euclidea di Rn 207 Somma di 2 vettori 207 Prodotto per un numero 207 Prodotto scalare 207 Norma 207 Distanza 208 Ricapitolando 208 Digressione su R2 208 Insiemi nello spazio 209 Rn 209 Palla di centro x e raggio r - Intorno sferico 209 Sfera di centro x e raggio r 210 Complementare di E rispetto tutto Rn 210 Punti di un insieme 210 Punti interni, esterni e di frontiera 210 Punto di accumulazione 212 Punto isolato 213 Insieme aperto, chiuso 213 Teorema 213 Proprietà degli aperti (di Rn) 214 Proprietà dei chiusi 214 Insieme limitato 214 R esteso 215 Palla di centro infinito e raggio r 215 Oggetti che vivono in Rn 216 Rette 217 Rette nel piano 217 Rette passante per due punti in in R2 217 Forma parametrica 217 Forma cartesiana 218 Retta perpendicolare a v passante per l’origine 218 Forma parametrica 218 Forma cartesiana 219 Rette nello spazio 219 Retta passante per due punti in R3 219 Forma parametrica 220 Forma parametrica 220 Analisi Disegno di insiemi nel piano 220 Curve 224 Curve nel piano 224 Cosa rappresenta una curva? 225 Curva nello spazio 225 Tipi di curve 226 Sostegno di una curva 227 Tangenza 227 Vettore tangente 227 Retta tangente 227 Funzioni di più variabili 229 Che cos’è una funzione in più variabili? 229 Grafico di una funzione 229 Insieme di livello 230 Che cosa sono? 230 Limiti per funzioni di 2 o più variabili 233 Continuità 235 Regola continuità 235 Esistenza limite 235 Esempi esistenza limite 235 Calcolo del limite 238 Regola del valore assoluto 238 Metodo delle coordinate polari in R2 239 Esempi calcolo del limite 240 Limite per (x, y) → ∞ 241 Derivate in più variabili 242 Analisi fino ad ora 242 Derivate parziali 243 Cosa sono? 243 Geometricamente 244 Derivate parziali in Rn 245 Derivata direzionale 246 Geometricamente 247 Derivate direzionali in Rn 247 Gradiente 247 Gradiente in Rn 248 Differenziabilità 248 Differenziabilità in Rn 248 Teorema 248 Dimostrazione 250 Derivata direzionale max e min 251 Significato geometrico del gradiente 252 Relazione tra gradiente e insiemi di livello 252 Piano tangente al grafico 255 Analisi Analisi finora - Retta tangente 255 Analisi ora - Piano tangente 255 Come calcolare 256 4. Calcolare il vettore α 256 3. Calcolare derivate direzionali 256 1. Calcolare derivate parziali 257 2. Dimostrare che f(x,y) è differenziabile in (x0, y0) 260 Teorema del differenziale totale 261 Massimi e minimi per funzioni di 2 o più variabili 261 Analisi finora 261 Analisi 2 o più variabili 261 Continuità, chiusura e limitatezza 261 Insieme compatto 262 Teorema di Weierstrass in più variabili 262 Tipi di punti min/max 262 Teorema 262 ∇f(x0)Come determinare max/min 263 Intuitivamente 263 Metodo degli insiemi di livello 265 Metodo classico 268 Punti di bordo - Parametrizzazione del bordo 269 Come parametrizzare i bordi 271 Derivate successive per funzioni di più variabili 272 Teorema di inversione dell’ordine di derivazione 273 Matrice Hessiana 273 Segnatura della matrice Hessiana 274 Studio locale nell’intorno di un punto stazionario 274 Metodo alternativo per determinare la segnatura di una matrice simmetrica 2 x 2275 Analisi in 1d 276 Analisi in più variabili 276

Calcolo differenziale - 1

Insiemi numerici

• N → Numeri naturali (interi positivi, 0 compreso). Esempio: 0,1,2,3, ...
• Z → Numeri interi (anche i negativi). Esempio: …,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...
• Q → Numeri razionali (le frazioni, o meglio le equivalenze di frazioni, perché includiamo anche i casi come 3 6)=2 4. Esempio: 1 1, , ...2 3
• R → Numeri reali; questi sono diventati fondamentali perché esistono numeri come, che non sono rappresentabili nei numeri razionali 2. Esempio: Se abbiamo un quadrato di lato 1, la diagonale è , che non è un 2 numero razionale, proprio come e π

Rappresentare i razionali su una retta porta a creare tantissimi punti, però diventa compresso da rappresentare numeri come , perché è 2 compreso tra: 1, 4 < 2 < 1, 5 1, 41 < 2 < 1, 42 …

Attenzione: N Z Q R⊂ ⊂ ⊂

I numeri naturali sono contenuti nei numeri interi, e così via…

Analisi o significa in entrambi casi contenuto in; però se A B e A B, allora⊂ ⊆ ⊂ ≠⊂ l’annotazione utilizzata sarà ≠

Intervalli di R

Definizione: ⇒I R si dice “intervallo” se x,y I con x<y, dato z R t.c x<z<y risulta z⊂ ∀ ϵ ϵ Iϵ

I contenuto in R si dice intervallo se per ogni x e y appartenenti ad I con x minore di y, dato z appartenente a R tale che x<z<y allora risulta z appartenente ad I.

Essendo I un sottoinsieme di R, allora all’inizio si scrive “I R”⊂

Un intervallo è un insieme privo di buchi

Legenda:

• = Contiene⊂
• = Per ogni∀
• = Appartieneϵ
• t.c / : = Tale che / Sia…
• ⇒ … = Se … Allora …

Esempio: In questo caso I è un intervallo, ovvero un insieme che contiene i punti tra 2 punti x e y.

A={x R:x 0}ϵ ≠

x = -2, y = 3

Analisi -2 A, 3 A → -2 < 0 < 3ϵ ϵ

0 A∉

A non è un intervallo

A = { x R : |x| 0 }ϵ >

x = -3, y = 3

Z B∉

x<z<y

B non è un intervallo, perché è fatto da due pezzi

Notazione per l’intervallo

Dati a,b R con a<b, scriviamo:ϵ

• [a,b] = {x R : a ≤ x ≤ b} → Intervallo chiuso - estremi inclusiϵ
• (a,b) = {x R : a < x < b} → Intervallo aperto - estremi esclusiϵ
• [a,b) = {x R : a ≤ x < b}ϵ
• (a,b] = {x R : a < x ≤ b}ϵ
• [a,+∞) = {x R : x ≥ a} → Semiretta chiusaϵ
• (a,+∞) = {x R : x > a} → Semiretta apertaϵ
• (-∞,a] = {x R : x ≤ a}ϵ
• (-∞,a) = {x R : x < a}ϵ
• (-∞,+∞) = R

Funzioni

Definizione:

Una funzione è una terna di oggetti, due insiemi e una legge, dove:

• A,B sono gli insiemi
• A il dominio (x)
• B il codominio (y)
• f è una legge

f mette in corrispondenza ogni elementi di A con uno e un solo elemento di B.

Si scrive:

f : A → B, ovvero f è una funzione da A a B

Legenda:

→ = Da … a

Analisi Esempio:

Grafico di una funzione

Definizione: graph(f) = {(a,b) A x B : b = f(a)} (A x B)ϵ ⊂

Il grafico è uguale all’insieme di punti dove a e b appartengono al prodotto cartesiano tra A e B tale che b è uguale al risultato della funzione di a.

Il grafico di f è contenuto nel prodotto cartesiano tra A e B (piano cartesianotra dominio e codominio) ed è uguale all’insieme dei punti nel piano cartesiano dato dalla formula al di sopra.

Esempio:

f:R → R

f(x) = 2x

(3,6) graph(f) → 6 = f(3) ) 2*3ϵ

(3,7) graph(f) → 7 ≠ f(3)∉

Immagine funzione

Analisi

Definizione:

f:A→B

D A⊂

L’insieme f(D) = {f(x) : x D} si dice immagine di D attraverso fϵ

f(D) B⊂

Con f da A a B e un insieme D contenuto in A, l’insieme f(D) è uguale all’insieme di punti formati da f(x) tale che x appartiene a D

Nel caso D = A invece di f(A) si scrive imm(f)

imm(f) = f(A) = {f(x) : x A}ϵ

Legenda:

= Se e solo se …⇔

Analisi Esempio:

A = R, B = R

2f(x) = x

D = [2,3] intervallo

f(D) = ?

x [2,3] 2 ≤ x ≤ 3⇔ϵ

24 ≤ x ≤ 9 4 ≤ f(x) ≤ 9

f(D) = [4,9]

f:R→R

2f(x) = x

imm(f) = [0,+∞)

2g(x) = -x

imm(g) = [-∞,0)

Iniettiva

Analisi

Definizione: f( f(⇒f : A → B si dice iniettiva se x ,x A con x x x ) x )∀ ϵ ≠ ≠1 2 1 2 1 2

Perciò, punti distinti in punti distinti.

La funzione da A a B si dice iniettiva se per ogni x e x appartenenti ad A1 2f( f(con x diverso da x allora x ) è diverso da x )1 2 1 2

Se una funzione è iniettiva, ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo in un punto.

Esempio:

2f(x) = x

f : R → R è iniettiva? No

f(-2) = 4 e f(2) = 4, però -2 ≠ 2

f(2 = f(-2)

Analisi 2f(x) = x

A = [0,+∞)

B=R

È iniettiva

Surgettiva

Definizione:

f : A → B si dice surgettiva (suriettiva) se y B x A : f(x) = y∀ ϵ ∃ ϵ

La funzione da A a B si dice surgettiva se per ogni y appartenente a B esiste un x appartenente ad A tale