Schemi di Analisi matematica 1 sugli integrali

Pagina 1: L’integrale indefinito e formule immediate

Definizione di primitiva

Una funzione F (x) è una primitiva di f (x) se F (x) = f (x).

L’integrale indefinito rappresenta l’insieme di tutte le primitive:

Z f (x)dx = F (x) + c

Tabella degli integrali immediati

n+1 ˆˆ xⁿ RR

−sin(x)dx = cos(x) + c

x dx = + c
n+1 ˆˆ

R1R cos(x)dx = sin(x) + c

|x|dx = ln + c
xˆ ˆ 1x

xR Re dx = e + c

dx = arctan(x) + c
21+x

Esercizi tipo 1: applicazione diretta

2 3 2R − −1. (3x 2x + 5)dx = x x + 5x + c

√−1/21R R2. dx = x dx = 2 x + c
√ xx

xR −3. (e + sin x)dx = e cos x + c
2

Famiglia di primitive di 2x (x + c)
42−2 −1 1 21

Pagina 2: metodo di sostituzione

Regola di sostituzione

Si pone g(x) = t, quindi g (x)dx = dt.

Z Z’f (g(x))g (x)dx = f (t)dt

Esercizi svolti passo-passo

ln xR

Esercizio 2.1: dxx
1

Pongo t = ln x =⇒ dt = dx.
x

22 (ln x)tR = + c.

L’integrale diventa: t dt = 2
22x

REsercizio 2.2: xe dx
122

Pongo t = x =⇒ dt = 2xdx =⇒ xdx = dt.
212

1t xRL’integrale diventa: e dt = e + c.
2R

Esercizio 2.3: sin(3x + 1)dx
1 dt.

Pongo t = 3x + 1 =⇒ dt = 3dx =⇒ dx = 3

1−Risultato: cos(3x + 1) + c.
3 2x

Area sotto e
8642 0.5 1 1.52

Pagina 3: integrazione per parti

Formula per parti

Derivata dal prodotto di funzioni:

Z Z’ ′· · − ·u v dx = u v u vdx

Dove u è il “fattore finito” e v è il “fattore differenziale”.

Esercizi tipo: logaritmi e polinomi

REsercizio 3.1: x cos x dx

Scegliamo u = x =⇒ u’ = 1 e v’ = cos x =⇒ v = sin x.

R R− ·x cos x dx = x sin x 1 sin x dx = x sin x + cos x + c.

REsercizio 3.2: ln x dx

Scegliamo u = ln x =⇒ u’ = 1/x e v’ = 1 =⇒ v = x.

1R R− · −ln x dx = x ln x x dx = x ln x x + c.
x x

REsercizio 3.3 (Il ciclo): e sin x dx

Dopo due integrazioni per parti si ritorna all’integrale originale I.

xe (sin x−cos x) + c.
Risultato: 2 3

Pagina 4: integrali di funzioni razionali fratte

Casi del denominatore ax² + bx + c

Si analizza il discriminante ∆: