Analisi 2, terza parte

Teorema delle funzioni implicite del Dini

Situazione 1

z = f₁(x,y), x² + y² - 1 = 0 | ℝ² circ. di raggio 1

Se chiamiamo F(x,y,z) = x² + y² - 1 allora la circonferenza è il luogo degli zeri di F. y₁ = g(x)

F(x,y,z) = y - f₂(x) = 0 | y₁ = g(x)

z = h(x,y), F(x,y,z) = z - h(x,y) = 0

Qui non possiamo isolare una variabile: non è una funzione.

Ma posso guardare solo parte superiore (o inferiore).

Copriamo ed esprimiamo

y² + 1 = x² → y = √1 - x²

[√1 - x² e [-√1 - x²]

x ∈ [-1,x₀] ∪ [0, x1]

φ(x) :√1 - x² x ∈ [-1, x₀] ∪ [0, x1]

Là cost, stiamo guardando la continuità.

Situazione 2

F(x,y,z) = x² + y²; e sia z₂ = f₁(x,y); F(x,y,z) = 0 | F(x,y) ≠ 0, c’è almeno (0,0)

• Non riesco a isolare una variabile.
• La geometria non mi aiuta.

z = k

z = F(x,y)

k = F(x,y)

F(x,y) ↔ k = 0

Teorema delle funzioni implicite del Dini

Situazione 1

z(x,y)

x₁² + y₁² = 0 | CL 0 e I_δ(x_o) = (y_o - δ, y_o + δ)^→

tc F(̅x, φ(x)) = 0.

e un intorno sferico

Inoltre φ: è continua in x_o. Se ⋅ F ∈ C¹ (I_δ(x_o)) e

∂∂x_i φ(x) = - (F_xi(̅x, φ(x)))────────────F_y(̅x, φ(x))

dim per ricorrenza

I = ℝⁿ → ℝ

x_o ∈ ℝ

x₂ = 1⇒ x =s

x_n-1 - 1 = 0

x_n = 1 + x_o veda cosa succede per n + ∞

T(x,y₀) = y-y₀ - ^F(x,y)/_Fy(x0,y0)

L'(x) = y₀+T(x,φ(x))

⟹ T(x,φ(x)) = L'(x)-y₀ - ^F(x,φ(x))/_{Fy(x0,φ(x0))}

Teorema esistenza per sistemi

Consideriamo il sistema                    { F(x,y,u,v)=0         {G(x,y,u,v)=0

Supponiamo che esiste h(x,y,u,v) t.c. F(x,y,h(x,y,v),v)=0

Sostituendo in G⟹G(x,y,h(x,y,v),v)=0              Lg(x,y,v)=0⟹v=g(x,v)⟹G(x,y,Q(x,y))=0⟹h(x,u,Q(x,y))=

t.c        { F(x,y,h(x,y),q(x,y))=0                                 {G(x,y,h(x,y),q(x,y))=0

       → campo       → vettoriale                             ←H⟺(F)O=H⟺(F/G)⟹significa risolvere quel sistema

Consideriamo il sistema      Fₑ(x,...x_n,y₁,...,y_h)=0          .                .}                 Fₑ(x,...x_n,y₁,...,y_h)≥0

Se chiamiamo x̅=(x₁,...x_n)

y̅=(y₁,...y_h)

⟹{F_i(x̅,y̅)=0               .}         {F_n(x̅,y̅)≥0         D’altra parte prendiamo

F:ↁⁿ×ↁʞ→ↁʞ  di componenti F=(F₁,...,F_n)⟹il sistema si scrive F(x̅,y̅)≥0

Teorema

Sia A ⊆ ℝ^n+h e sia F: A → ℝ^h di classe C⁴.

Sia (x̄₀, ȳ₀) ∈ A t.c. F(x̄₀, ȳ₀) = 0̲. Supponiamo che

det( ǝ(F₁, ..., F_h ) / ǝ(y₁, ..., y_h) ) (x̄₀, ȳ₀) ≠ 0

"invertibile" h lin. indipendenti allora esiste un I_δ(x̄₀) e J_δ(ȳ₀) ⊆ ℝⁿ ed esiste ϕ₁ = (ϕ₁, ..., ϕ_h): I_δ(x̄₀) → J_δ(ȳ₀) t.c. F(x̄₀, ϕ̅(x̄₀)) ≡ 0̲

Anche in questo caso ϕ ∈ C⁴(I_δ(x̄₀) e

ǝ(ϕ₁, ..., ϕ_h ) / ǝ(x₁, ..., x_n) = ( ǝ(F₁, ..., F_n ) / ǝ(y₁, ..., y_h) )^-1 ( ǝ(F₁, ..., F_n ) / ǝ(x₁, ..., x_n) ) (x - ϕ̅(x) )

Osservazione

ϕ ∈ C⁴(ℝ) e sia ϕ invertibile sia F(x, y₁) = y - f(x)

Consideriamo l'equazione F(x, y) = 0

Relativamente fo è continua: yf^-1(x) monotona

F_x(x, y) = ∂/∂x (y - f(x)) = -f'(x) ≠ 0, per qualche x_o

f_y(x, y) = -1

Applichiamo Dini su x: esiste δ e σ e q₁(y_o - δ, y_o + δ) = (x_o - δ, x_o + δ) t.c

F(q, y₁, y) = 0 ⇒ y = ϕ(a(y₁)) = 0 ⇒ ϕ(a(y₁)) = y

Quindi troviamo che g = ϕ^-1

q'₁(y) = - f_y(q₁(y₁), y₁) / F_x(q₁(y₁), y₁) = -1 / -f'(x) = 1 / f'(x) derivata dell'inversa

Con teorema di Dini posso gestire la derivata delle inversioni

con il moltiplicatore "locale" "ilocali" applicati al teorema

Teorema invertibilità locale

Sia A ⊆ ℝⁿ aperto e f: A → ℝⁿ ∈ C¹

Sia x₀ ∈ A e supponiamo che

det   ≠ 0

Ora esistono I_x e J_x(x₀) t.c f  I_x → J_x(x₀) ( visto nel * cambi di variabili)

invertibile e la sua inversa φ^-1 : Jφ(x₀) → I_x è

di classe C¹ e ∀ ũ ∈ Jφ(x₀)  =         [( )] ^-1 (I)

F:ũ - φ(ũ) = 0 = dinì x sistemi

y₁ - φ₁(x)→(1,0,...0)

y₂ - φ₂(x) → (0,1,...0)

y_n- φ(x) →(0,0,...,1)

* | t = φ₁(x,y)   | s = φ₂(x,y) campo di   vari con questo hp → è localmente invertibile

si può fare passaggio da un integrale all' altro

Esempio

Es. _φ(x,y)= (x²-y², 2xy) = (u,v)

φ : A → ℝ²

dove A = {(x,y) ∈ ℝ² : 1 < x² + y² < 9}

F1) consideriamo (-a,0) e (a,0)

con a ∈ (1,3)

φ(a,0)= (a²,0) , φ(-a,0) quindi non è iniettiva

F2) J_φ =

[2x -2y]

[2y 2x]

J_φ = 4(x²+y²) ≠ 0

- J≠0 non ci assicura invertibilità globale

Im φ : {(u,v) u²+v² < (x²-y²)² + 4x²y²= x⁴ + y⁴+2x²y² = (x²+y²)²}

1 < u²+v² < 81

prop Sia D dominio di ℝⁿ e φ: D → ℝⁿ al classe C¹ inò

se se J_φ≠0  ∀ x ∈ D allora è trasforma

punti interni in punti interni φ(D)

prendo punto aperto J ≡ 0

prendo intorno su cui J invertibile

φ(x) non può essere su bordo ma interno costr

teo invertibilità locale

tra il bordo dove va a

Se siamo fortunati: δD = δ f(D)

Es. φ(x,y) = (x²- y², 2xy)

D = {(x,y): x²+y² ≤ 1 e y ≥ 0}

φ(D) = {(u,v) ∈ ℝ² : x²+v² ≤ 1}

1 l’immagine è una circonferenza