Riassunto Analisi 2 - Terza parte

Integrali Capitolo multiple 5 - Integrali doppi

Rettangolo

15. }Un rettangolo chiuso DIRR dato {{dall' IcR} BIè R2 Iadbinsieme )( e ✗: ✗✗a ≤≤ ≤y e ≤×= : = ,, ,,I lati formano 212DABC CDAB , ,, 12º tutti rettangolo } R(( formato internipunti dib) dad) d12ºAPERTO R2{ b è i4a. ( )c «E ✗ay <: ovvero <×✗ <:= =, , ,,( )pimiaoAREA (A) d-RETTANGOLODEL ( c)(b a)mia: -={ {}

Po partizione } partizioneQ ]b id[ [bXn di ] 4m dib 40=441 4miXn✗ ✗a ea-1◦ e == === ,, ,, ... ,, . ... ,partizioni [Tali rettangoli ]4determinano RiRij ][ 4dove ✗M ✗ein 1,2icon mcon 5=1,2n✗ ✗] i== -1i., . ,, ., ].. ,. i, ,].limitatalimitata anche Fiche RR2Rf A RiSia èsupponiamo i n→ ine ]]: , MijtraPerciò inferiore estremofunzione Rigtale estremo NU inij superioreuneun .,Ki-✗iÌÉÈÈÌ ÈÈ?_?

Somma integrale inferiore

SÉSOMMA (a)INTEGRALE )(f a)partizionirelativa RigSHINFERIORE Peadi f- alle P MismiP( miè)y s× : =; ;= ,, ,, ,, -11F- i,negativa ilaventiSe parallelepipedideglila inf rappresenta volumilaf basedei) è( somma ciascunoy permmsommanon× , .rettangolo cheRig altezza segmento misurae per m iun ]P.az?Ii&.,Mi,(xi-xiIfyEiEI- INÈ

Somma integrale superiore

SOMMA Sit ( )INTEGRALE SUPERIORE a)(t:S RigP Mis=;; , IJ-11F- iAl reali limitatosuperiormenteQ }l'P deidi a)({• fvariare Pinsieme ènumeri se : ; ,S inferiormentereali limitatoi }l'insieme dei a)(f{ P ènumeri ; ,L' lestremo Ldell'inferiore delledell'delle estremo inferiorièinsieme superiore≥ insieme sommesomme superiori.

Funzione integrabile

Funzione integrabileDefinizione Daf rettangolol che chiama doppiointegrabile nelintegraleL f RditalInrettangolo lsul dxdyindica (La Rf- 4)=L y)( siè( 4) si × ×concasose× =, ,,.

Proprietà

PROPRIETÀ le4) ancheallora funzioniRf-se )integrabili ☒(le ()( KEf 4)( Kf4) ( 4)( 4) 4( 4×nesono +g me× cong×e ×××× ==, , , ,,, ,,haintegrabili R siesusono :Proprietà {/ /^ fadxdyadditiva dxdy)(f ) dxdyt (( ( 4)4)ix. 4)4 g ✗+ y ×: ×= i,,ffpnkfProprietà µ/omogeneità' dxdydi ( 4) dxdy4)(K: × ×= ,. IffProprietà #monotonia ftp.glxilldxdy- di ☒f- dxdy(4)( ≤4)( (se 4) €g 4)≤ × ×× ×, ,, ,

Teorema sul rettangolo semplice

TEOREMA cheSupponiamo che tx-Ia.BIZ[ l']rettangolosia adf semplice Gnel integraleRvalori integrabile Io dyf b ()]R ( 4)4)( e× ×inauna× ✗= =, ., , ,"[IffGCX sull' voleAllora (integrabile Ia ]intervallo b ) DX) dydxdy { fsia ( 4)( 4)× ×=, ,. ,

TEOREMA If cheH]Supponiamosia ltyte integrabile Ic l'valori Ic semplice dx Hd integrale4) ()f- 7 )]b d] (R [ sia(( c-in in e4)y ×a× a. ✗ = ×=, ,, ., ," [{Dati )dxdy (integrabile dyintervallosull' dxDI[ 4) f 4)(× ×c. =, , limitatolimitata R' ☒definita Dintegraledefinire fl' fVogliamo )(di insiemey suuna × →Cun, {contiene t' )rettangolo ED(D "che se il✗ )*l' ✗Rc peSia *g-RSia g-a iinsieme → )(un y: × =,. 0 RID4)(se × E,La * integrabile R =/ dxdy*f- fafdxdy) f fè (D( )INTEGRABILE è (y pone ( 4)y esusesu si )× × × y×, , ,,Rf) sceltainfatti dalladipende didxdyf 4)( × n on,D

Misura di un insieme

Misura insiemedi UN25. { DÈ 1 4)(lalimitato FUNZIONE seD £☒ caratteristicaRtsia ✗✗ ✗→ cioèsua )(insieme 'c un ysiae ×: :☐ =☐ ,, D\☒4)0 E( ×re ,INSIEME cheMISURABILE l' caratteristicamisurabile talDdiciamo la D;f integrabileè (✗ )insieme inè suse y: ×☐ ,chiameremo negativo CRdell' il (D)reale =/ dxdyfaxDmisura )(insieme mia ☐numerocaso ynon ×☐ ," hasceltaTale definizione indipendente della =/R 0di dxdy(D)è ↳mia misura =!=)}

Se { funzioniD= Rt (D):[ E continue allora (PK dx]YEBb )( ((4) b) )) ( )2 2miaa 2,13×E E ×E✗× E aconx: -, ,, ,

Insieme misurabile

INSIEME MisurabileDEFINIZIONE l'interni Drettangoli coincidel' Rijdelle estremomisurabile estremo dellad' deiD conè superiore areeinsieme sommase a ,,rettangolidellainferiore lache valoreintersecanodei TaleRijdelle l' D. misuraèareesomma comuneinsiemedell' D.insiemeTEOREMA] ha☒ }:[ Allora nulla( {f continua Rib bgraficosia Y =p) l'4il )cioè (di )→ misura4Eauna (× Einsieme ✗ya e x× :, . ,, ,:[LUNGHEZZA GRAFICO DX'(qDI )UN )' (1 + ×alimitato nullalasolo frontieraUn hamisurabileD adèinsieme misurase suase e.

Proprietà della misura

PROPRIETÀ MISURA diDELLA insiemeun ( 2))(1) DamisurabiliD= Di DDiDi due miainsiemisono suis ee con c, ( () ))misurabile DnL' haDal DiDe ( D\Daè miainsieme Mismismie z -=: nullahasottoinsiemeOgni di nulla2) di misurainsieme misuraunL' hamisurabileintersezionel'3) Da misurabiliDiduedi è insiemeinsiemiunione ee siu ne :a)() Din D()(D)( D=U MisDtuisDiMis mia z -= haparticolare ha=P nulla ()( (Di )alloraDaIn DcD= ) DnD=Di UDinn miase misura suisse +miasio =,,

Calcolo degli integrali doppi

CALCOLO INTEGRALI DOPPIDEGLI5. 3TEOREMA limitata] eccettof- Se 4)f E continuaIc R] Rf aldb (R èIa insiemepiùin→sia ×unae un✗ := , ,., nulla Rallora f integrabiledi )yS èmisura ( i n×, ., Ha fafcxERIS( dxdySe =/4)4) dxdycontinua (t.c.gl f-inoltre R f 4)☒ R 4)( 4)è→ ×× gin ×unag ×: =, , , ,,continua Df eccettoUna nullaal dicedipiù insiemein misuraun si, ,generalmente Dcontinua in.

Dominio normale all'asse

Dominio normale }XRE{ ALL'} NORMALE ASSERispettobD= 13K4( )4) EEX ( insiemia )2 sonoEE ✗ E x:, , YDominio chiari limitatid } ALL'NORMALE ASSERispetto{D= ERI Y e4 )( Y(( )yE4) ✗ EE 4 E:c× ,,

TEOREMA } continuebrispetto 13 ]Xsia b{ :[2,13 ☒Rtall'normale D= E (D f)dominio 4cioè (asse a E)2( Ey) E ✗ × →asia coneun ×× :, , ,, "b ) )=/haR (sia f Alloraf continua f integrabile dxdyD DX) dyD ( )(4)( suy sièuna f- × y×e×: ,, ,. ( )2a X

TEOREMA YEOLDSia rispetto :[{ SiaRi } dnormale ] D Eall'dominio A fY YY continue( ) Y)Y ( ycioè D= funzioni( →) →EE ✗y Ey : casse con cesiaun × :, .,, ,, ¥[[ )( dyha dxdycontinuaf integrabileAllora fDesif DX) 4)((una ()èy ysu ×× ×: = ,,. , 9141 alloraDa chef- Diintegrabile ( fDanda 0) )Sia domini ènormali )( y Mis ( ysu sono con× ×e =, , ,dxdy+1ftha /integrabile fdxdy / dxdyD= UDZDi 4)((4)f- ( 4)si ×su e × ×=, , ,Di DZ

Teorema della media

Teorema della mediaSia ÈD limitatochiuso T:Dmisurabile Sia 3- Po (f DAlloraa 40 )fe continuaconnessoinsieme Xo→c e :cun una = .., ., ,(f/ Po (D)dxdyµ )( 4) mis✗ =iVALOR MEDIO FUNZIONEDELLA Df ( )il su✗ / /| dxdy§SI /integrabile dxd4integrabile f-D 1 /Dg- If) E )fse è( 4)(( (4)su suil è Y×× ×✗ , , ,,

Formula di Leibniz

>FORMULA LEIBNIZDiBH)B K) {{ dy )' )+134) '(dy (2 (( )13)( ( ) )( ) (2×Y g × X× ×y8 × ×g×= -, , , ,✗2K) )(2 X

Applicazioni degli integrali doppi

APPLICAZIONI45. INTEGRALI DOPPIDEGLIcon delledoppigli int calcolare le superficiareesi possono. { ( )✗ MN✗=Data chiusolimitatoD misurabileRregolare g ) D(superficie (y è) connessoEv vuna y n eC; n= , ,,,( )ZZ vn= , D= UJA apertoAA RC insiemeconAREA f)della dvSUPERFICIE delREGOLARE ( =( ( ) )S 2 it Lee) Iz Is( ) )Ii ( ) nn+ vvn= ,,) ☐(Yu ( )MN Zu LuizMN )Il a== (4 )2( MN) )(MN 2- vte✓ 2 <✓ =, ( () )47 y2 ×(2( = (( )'( ))Ii ) °Iz ) ( Zi) a( I) ×++ ++ v ,vn } nMN =, , ( )2 v luia( µ ) 2 )) (( VZu ✗ MN)MN v ,nu ,IZ l'( )a esisteZix integrale= ( )( ) Xv MNzu vµ luia ), 0'( ' ((se 'S ( ))Ii )regolare Iz ) () ( I) ++ v MNè >n }MN ,(Yu )( )✗ MN vnu , ( 4)I3 ×a ,= ( )✓() Yuv✗ n 2 )mi (MN✓ ,

Area di superficie di rotazione

AREA ROTAZIONESUPERFICIE didiTEOREMA lunghezzadaldata dellaprodotto dellaL' adA dellasuperficie retta ruotacheintorno lunghezzalarotazionedi di Yè curvaunauna per, ,dell'delladaldistanza dibaricentroavente lacirconferenza rotazioneraggio assecur vaper.

Integrale di superficie

Integrale di superficie superficief Sdi sulla il)( -2 numeroy× :,, §# dvdel( fds) f- ds) '<() ) )( Pt ))(I( Lee (MN) (MN )( + IsMN -2lui)In-2( 4 4vnn ×2✗ ==, ,,,,

Trasformazione di variabili

TRASFORMAZIONE VARIABILI5. 5 dilimitato ( )Prendiamo misurabile D= 'D4Di cheinsieme siaeun anche' misurabilemisurabileSi che D D èèpuò seprovare , ,matrice 4)) chedellaal della trasformazione (( 0determinanteit Jacobianco Ofjacobi✗ ✗ilsia Ed=/ )) supponiamo cm vama i; ,) )MN (( 22 MNèla CAMBIAMENTO VARIABILI (f)Gli INTEGRALIPER °FORMULA )DOPPIDIDI TRASFORMAZIONE 4✗ du=/ du: dxdy) ff )g-(o ))( ( '(y y) v× v nn, ✗, , ,, , )(2 MNDDcontinuaf-dove è ☐( in)y× ,

Cenni sugli integrali multipli impropri

CENNI INTEGRALIsugli MULTIPLE6 IMPROPRI5.FUNZIONE INTEGRABILE IN IMPROPRIOSENSODEFINIZIONE generalizzato /limite figo dxdy finito) fanlfintegrabile (f- D /i lè impropriosensoin èsu) ( )( y ilse ✗× o, [ otxdyffaufIl (lime Dchiamadxdy dif indica)GENERALIZZATOINTEGRALE IMPROPRIO ) f- )IN( ((SENSO ey si yO4) consu× ×si× , ,,+ an →N B integrale D.precedenteintegrabile il della f-limite coincide l'delDf allora doppiovaloreè y)(su ne) conproprio( y ×se ×. ,. , ,

Misura di insieme non necessariamente limitato

Misura di insieme LimitatoINSIEME NON NECESSARIAMENTEUNDIDEFINIZIONE limitatomisurabile Qnquadrato chelimitato l'haInnecessariamente t ]MIEndiceDa Riun insiemesiseinsieme nsinon ✗= , ,, , ,,Qnn D misurabileè { } limitatiUna chiusi tDu misurabilidi insiemisuccessione e c. :.,µne ancheDuUE Rt Dn misurabileSeb) Dtutti DnmisurabileDue alloraa) Denti è èinsiemeun=, ,line b)