Appunti di Analisi matematica 2 (terza parte)

Funzioni di due variabili

Calcolo differenziale e calcolo integrale

g: la funzione ha due variabili indipendenti, la x e la y. Un esempio è la media aritmetica g(x,y) = \(\frac{x+y}{2}\) = g(x,y)

Alcune proprietà

g(x,x) = g(x)
\(\min\{x,y\} \leq g(x,y) \leq \max\{x,y\}\)
Se x = y \(\to\) g(x,y) = x = y

Un altro esempio è la media geometrica g(x,y) = \(\sqrt{x \cdot y}\). Ha le stesse proprietà della media aritmetica ma 0. Tutte le medie note siamo all'interno di questa famiglia.

Esempio

(x,y) → h sul livello del mare della località.
(x,y) → g(x,y) carta geografica

Definizione

Sia D un sottoinsieme del piano, una funzione g definita in D è una legge che associa ad ogni (x,y) ∈ D uno e un solo numero reale g(x,y), detto valore di g in (x,y).
g : D → D = dominio di g

Funzioni di due variabili

Calcolo differenziale e calcolo integrale

β: ℝ → ℝ la funzione ha due variabili indipendenti, la x e la y. Un esempio è la funzione media aritmetica g(x,y) = \(\frac{x+y}{2}\) = β(x,y)

Alcune proprietà

g(x,y) = g(y,x)
min(x,y) ≤ g(x,y) ≤ max(x,y)
Se x = y → g(x,y) = x = y

Un altro esempio è la media geometrica g(x,y) = \(\sqrt{x \cdot y}\). Ha le stesse proprietà della media aritmetica ma \(\sqrt{x \cdot y} \leq \frac{x+y}{2}\) poiché x \cdot y ≤ \(\left( \frac{x+y}{2} \right)^2\).

Un altro esempio è la media quadratica g(x,y) = \(\left( \frac{x^2 + y^2}{2} \right)^{\frac{1}{2}}\) ≤ \(\frac{x^2 + y^2}{2}\)

Un altro esempio è la media armonica g(x,y) = \(\frac{1}{\frac{1}{2x} + \frac{1}{2y}}\). Sono tutti esempi di funzioni in due variabili e valgono le proprietà della prima media aritmetica, media geometrica, media armonica e media quadratica.

In realtà esistono infiniti modi di fare la media, ad esempio: g(x,y) = \(\left( \frac{x^{p} + y^{p}}{2} \right)^{\frac{1}{p}}\) in generale si scrive g(x,y) = \(\left( \frac{x^{p} + y^{p}}{2} \right)^{\frac{1}{p}}\) con p > 0. Tutte le medie note stanno all'interno di questa famiglia.

Esempio

l(x,y) → l_{h su livello del mare della località}(x,y) = g(x,y)

Definizione

Sia D ⊆ ℝ² un sottoinsieme del piano, una funzione ƒ definita in D è una legge che associa ad ogni (x,y) ∈ D uno e un solo numero reale f(x,y), detto valore di ƒ in (x,y)
β: D → ℝ D = dominio di ƒ

Esempio

• g(x,y) = x³ + y³
• g(x,y) = x³y
• g(x,y) = sup (x+3y)
• g(x,y) = ln(1-xy)

D: dominio naturale
D: { (x,y) | 1 - xy > 0 }
I domini di iperbole segnano il confine di quello originario e individuano nel piano 3 zone. Il dominio naturale è la zona tra i due rami di iperbole.

Esempio

g(x,y) = √(4x³ + 9y³ - x + 3)
D: { (x,y) ∈ ℝ² | 4x³ + 9y³ - 1 > 0 }
Il dominio è definito da una disequazione in due variabili: 4x³ + 9y³ > 1. Il luogo geometrico è un’ellisse. Il piano viene diviso in due parti dall’ellisse, in generale in una delle due vale una disequazione e nell’altra vale l’altra disequazione. L’ellisse fa parte del dominio in questo caso.

Esempio

g(x,y) = 1 / (4 - xy - 3)
D: { (x,y) ∈ ℝ² | 4 - xy - 3 > 0 }
Il D è il piano ** la retta

Funzioni polinomiali

Un monomio in x,y è un'espressione nella forma ax^myⁿ dove a ∈ ℝ e m,n ∈ ℕ ∪ {0}. Un polinomio in x,y è la somma di un numero finito di monomi. g: ℝ² → ℝ g si dice polinomiale se è un polinomio: P(x,y) peq cui g(x,y) = P(x,y) g(x,y) = g(P(x,y)) g: ℝ→ ℝ, g = g(t) ad esempio: g(x,t)= _t • e^t P(x,y) = 1 - x² - g² Il grado di un monomio è la somma dei gradi delle variabili: x^m yⁿ → m + n H(x,y) = 2 x³ → grado 3

Il grafico di funzioni in due variabili

Sia g: D → ℝ, con D ⊆ ℝ². Si definisce grafico di g l'insieme g_g : {(x,y,z) ∈ ℝ³ |(x,y) ∈ D , z = g(x,y)}

Esempio

g: ℝ²