Superfici
Consideriamo A ⊆ ℝ2 un aperto connesso.
Consideriamo una mappa r: ℝ2 → ℝ3 continua.
Indichiamo con Σ l’immagine: Σ = r(T)
r(x,u) ∈ ℝ3
r(x,y) = {φ(x,y) ψ(x,y) θ(x,y)}
DEF Si dice superficie di ℝ3 una coppia (Σ,r) dove:
- Σ ⊂ ℝ3 e r: r(T)=Σ (i.e. una sua parameterrizazione)
NOTAZIONE r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k
= (x(u,v) y(u,v) z(u,v))
Diremo che r ∈ CK(r) se ciascuna componente ∈ CK(T),
DEF Sia Σ ⊂ iΔ un punto P = r(u0, v0) dove
u0 e v0 ∊ Σ si dice regolare se la matrice
- J(u0, v0) = (xu(u0, v0) yu(u0, v0) zu(u0, v0))(xv(u0, v0) yv(u0, v0) zv(u0, v0))
ha caratteristica 2.
due vettori sono linearmente indipendenti
Superfici
Consideriamo A ⊆ R2 un aperto connesso
cioè °A ⊂ A ⊆ A
Consideriamo una mappa r : T → R3 continua.
Indichiamo con Σ l'immagine: Σ = r(T)
def Si dice superficie di R3 una coppia (Σ,r) dove
Σ ⊆ R3 e r : T → Σ (i.e. una sua parametrizzazione)
notazione r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k
Diremo che r è ∈ Ck(T) se ciascuna componente è ∈ Ck(T)
def Sia Σ ⊆ L un punto P = r(uo, vo) dove
uo, vo ∈ T si dice regolare se la matrice
Juo,vo = xu(uo,vo) yu(uo,vo) zu(uo,vo)xv(uo,vo) yv(uo,vo) zv(uo,vo)
ha caratteristica 2
una sottomatrice non detta
due vettori sono linearmente indipendenti
per mantenere la possibilità di muoversi con
lineamente indipendenti
ES
Sia ϕ + T ⊆ ℝ2→ℝ, consideriamo ϕ ∈ C(Ω)
r(u,v) = x
(y) = ϕ(u,v) quindi una funzione di
(z)
due variabili è una superficie
Jru(u0,v0) = 1 0 ϕu(u0,v0)
(0 1 ϕv(u0,v0))
I→det ≠ 0
Sia R≥0 e sia x2+y2+z2=R2 (sfera di centro l'orig.
ne e caglio R)
σa
r(ϕ,θ) = R sinϕcosθ i + R sinϕ sinθ j + R cosϕ k
→ coordinato sferiche
È regolare.
(R cosϕ cosθ R cosϕ sinθ -R sinϕ)
rθ (-R sinϕ sinθ R sinϕ cosθ 0)
et sottomatici :
-R2 cos2 sinϕcos2 ϕ + R2 cos2 sinθ sin2 θ = R2 cos2 sinϕ
-R2 sin2 ϕ sinθ
-R2 sin2 ϕ cosθ
ψ ∈ (0, π) ⟶ 0, π
θ ∈ (0, 2π)
(0,8) non regolare
x,y&;gt;0
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