Analisi superiore

Analisi superiore

Lunedì, venerdì c'è la professoressa Cardero fino al 9 Novembre compreso.

Martedì 6 Novembre ⇒ programma 6 CFU.

Lezioni in aula Lagrange.

Ragion morale di Analisi superiore ⇒ dove ci sono le dispense (da non stampare prima del 9 Novembre).

Programma

• La trasformata di Fourier.
• Ci interesserà T₀ e le traslazioni.
• La convoluzione, la trasformata di Fourier sui prodotti di convoluzione.
• Formula di inversione.
• Teoremi Schwarz S, le distribuzioni temperate.
• Gli spazi di Sobolev H_s.
• La trasformata di Laplace.

24 Settembre 2018

Siano X e Y degli spazi vettoriali sullo stesso campo reale (ℝ o ℂ).

Un'applicazione T : X → Y si dice lineare ⇔ ∀ α, β ∈ ℂ e ∀ x₁, x₂ ∈ X.

T(αx₁ + βx₂) = αT(x₁) + βT(x₂).

Esempio

Prendiamo X = Y = ℝ, allora T(x) = x è un'applicazione lineare.

Siano (X, ||.||_X) e (Y, ||.||_Y) due spazi normati.

Un operatore lineare T : X → Y si dice limitato ⇔ ∃ C > 0 tale che ||T(x)||_Y ≤ C ||x||_X ∀ x ∈ X.

Analisi superiore

Lunedì, venerdì c'è la professoressa Cordero fino al 9 Novembre compreso.

Martedì 6 Novembre → programma 6 CFU.

Lezioni in aula Lagrange.

Appunti modulo di Analisi superiore → dove ci sono le dispense (da non stampare prima almeno Novembre).

Programma

• La trasformata di Fourier.
• Ci interesserà l₀ e le traslazioni.
• Le convoluzioni, la trasformata di Fourier ai prodotti di convoluzione.
• Formula di inversione.
• Closure Schwarz S.
• Le distribuzioni temperate.
• Gli spazi di Sobolev HS.
• La trasformata di Laplace.

24 Settembre 2018

Siano X e Y degli spazi vettoriali allo stesso campo scalare (ℂ o ℝ).

Un'applicazione T : X → Y si dice lineare ↔ ∀ α, β ∈ ℂ e ∀ x₁, x₂ ∈ X.

T(αx₁ + βx₂) = α T(x₁) + β T(x₂).

Esempio

Prendiamo X = Y = ℝ, allora T(x) = x è un'applicazione lineare.

Siano (X, ‖.‖_X) e (Y, ‖.‖_Y) due spazi normati.

Un operatore lineare T : X → Y si dice limitato ↔ ∃ C > 0 tale che ‖T(x)‖_Y ≤ C‖x‖_X ∀ x ∈ X.

Attenzione

Questo è un concetto diverso da "funzione limitata". Ad esempio, si prenda f: ℝ→ℝ, f è limitata su ℝ se _x∈ℝ∃M: |f(x)|≤M.

Esempio

Considerando T(x) = x, si ha T: ℝ→ℝ e _x∈ℝ |T(x)| = _x∈ℝ |x| = +∞ ⇒ quindi non è una funzione limitata ma T è limitato.

_ℝ‖T(x)‖_ℝ = ‖T(x)‖ = |x| = ‖x‖_ℝ da cui ‖T(x)‖_ℝ ≤ C ‖x‖_ℝ dove C = 1 ∀ x ∈ ℝ.

Teorema

Siano X, Y spazi normati. Sia T: X→Y un operatore lineare. Allora sono equivalenti:

• T è uniformemente continuo su X.
• T è continuo su X.
• T è continuo in 0.
• T è limitato.
• Esiste una costante positiva C > 0 tale che ‖T(x)‖_Y ≤ C, ∀ x∈X tali che ‖x‖_X ≤ 1.

In particolare, si ha che inf {c>0; ‖T(x)‖_Y ≤ c‖x‖_X ∀ x∈X} = _{x∈X ‖x‖X ≤1} sup {‖T(x)‖_Y; x∈X e ‖x‖_X ≤1}.

Si indica con L(X,Y) = {T: X→Y lineari e limitati}.

Lemma

L(X,Y) è uno spazio vettoriale normato con norma data da ‖‖T‖_L(X,Y) = inf{c>0; ‖T(x)‖_Y ≤ c‖x‖_X ∀ x∈X}_{∀ T∈L(X,Y)} = _{x∈X ‖x‖X ≤1} sup {‖T(x)‖_Y; x∈X e ‖x‖_X ≤1} ∀ T ∈ L(X,Y).

Esempio

₃ Prendiamo come X = e_C ([0,1]) con norma dato dai f ∈ e_C ([0,1]) e ho ||f||_∞ = sup_{x ∈ [0,1]} |f(x)| e prendo Y = ℂ.

Sia T: e_C ([0,1]) → ℂ.

f ↦ T(f) = f(0) ∀ f ∈ e_C ([0,1]).

∀ α, β ∈ ℂ ∀ f₁, f₂ ∈ e_C ([0,1]).

T(αf₁ + βf₂) = (αf₁ + βf₂)(0) = αf₁(0) + βf₂(0) = = α T(f₁) + β T(f₂), |T(f)| = |f(0)| ≤ sup_{x ∈ [0,1}