Equazioni differenziali ordinarie 18

Problema di Cauchy

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy

u^″(x) + 49u(x) = 1

u(0) = 1/49

u^′(0) = 7.

Calcolare u^″(0) e 49u(π) − u^′(π).

Calcolo di u^″(0)

Per il calcolo di u^″(0) si ha

u^″(0) = 1 − 49u(0) = 0.

Risoluzione dell’equazione

Invece, per la seconda richiesta, occorre risolvere l’equazione. L’equazione caratteristica è data dall’equazione

λ² + 49 = 0

che ha le due soluzioni λ_1,2 = ±7i; ne segue che l’integrale generale dell’equazione omogenea associata è dato da

ū(x) = c₁ cos(7x) + c₂ sin(7x).

Il termine noto è di tipo polinomiale, di grado 0; cerchiamo quindi, ad esempio, una soluzione particolare costante. Si osserva immediatamente che l’unica soluzione particolare costante è data da

u_p(x) = 1/49.

L’integrale generale è quindi dato da

u(x) = c₁ cos(7x) + c₂ sin(7x) + 1/49

da cui

u(0) = 1/49 ⇔ c₁ + 1/49 = 1/49

e dunque c₁ = 0. Per il calcolo di c₂ si ha anzitutto

u^′(x) = 7c₂ cos(7x)

da cui

u^′(0) = 7 ⇔ 7c₂ = 7

che restituisce c₂ = 1. La soluzione richiesta è dunque data da

u(x) = sin(7x) + 1/49

con

u^′(x) = 7 cos(7x).

Dunque

49u(π) − u^′(π) = 49 · 1/49 − 7 cos(7π) = 8.