Equazione differenziale ordinaria 16

Problema di Cauchy

Sia u: ℝ → ℝ la soluzione del problema di Cauchy

u^′′(x) − 6u^′(x) + 9u(x) = 0

• u(0) = 0
• u^′(0) = 1

Calcolare u^′′′(0) e log(u(4)/4).

Dall’equazione si ha

u^′′(0) = 6u^′(0) − 9u(0) = 6.

Derivando l’equazione si trova

u^′′′(x) = 6u^′′(x) − 9u^′(x),

da cui u^′′′(0) = 27.

Quanto alla seconda richiesta, calcoliamo l’integrale generale. L’equazione caratteristica è data da

λ² − 6λ + 9 = 0,

che ha come soluzioni λ₁ = λ₂ = 3.

Quindi l’integrale generale è dato da

u(x) = c₁e^3x + c₂xe^3x.

Imponendo la condizione u(0) = 0 si trova c₁ = 0; si ha poi

u^′(x) = 3c₁e^3x + c₂e^3x + 3c₂xe^3x,

da cui u^′(0) = 1 fornisce c₂ = 1.

Ne segue che la soluzione particolare è data da

u(x) = xe^3x.

Quindi u(4) = 4e¹², da cui log(u(4)/4) = 12.