Equazione differenziale ordinaria 20

Problema di Cauchy

Sia u: → la soluzione del problema di Cauchy

R R

&lu;′′ ′
u′′(x) + 2u′(x) = −16 sin(2x)
{ u(0) = 0
u′(0) = 4.
}

Calcolare u′′(0) e u(^3π⁄₂).

Calcolo di u′′(0)

Quanto alla prima richiesta si ha soluzione.

u′′(0) = −2u′(0) = −8.

Risoluzione dell’equazione

Risolviamo ora l’equazione; l’equazione caratteristica è data da

λ² + 2λ = 0

che ha le soluzioni λ = 0 e λ = −2; l’integrale generale dell’omogenea associata è dunque dato da

ū(x) = c₁ + c₂e^−2x.

Osserviamo ora che 2 non è soluzione dell’equazione caratteristica, quindi cerchiamo soluzioni particolari della forma u_p(x) = a cos(2x) + b sin(2x).

Si ha

u_p′(x) = −2a sin(2x) + 2b cos(2x)

e

u_p″(x) = −4a cos(2x) − 4b sin(2x).

Inserendo il tutto nell’equazione data si ottiene, a conti fatti, il seguente sistema

−4a + 4b = 0
4a + 4b = 16

da cui a = b = 2. La soluzione generale è quindi data da

u(x) = c₁ + c₂e^−2x + 2 cos(2x) + 2 sin(2x).

Condizioni iniziali

La condizione u(0) = 0 dà c₁ + c₂ + 2 = 0; poi si ha

u′(x) = −2c₂e^−2x − 4 sin(2x) + 4 cos(2x)

da cui u′(0) = 4 equivale a −2c₂ + 4 = 4. Dunque c₂ = 0 e c₁ = −2. La soluzione finale è

u(x) = −2 + 2 cos(2x) + 2 sin(2x)

da cui u(^3π⁄₂) = −4.