Equazione differenziale ordinaria 19

Problema di Cauchy

Sia u : R → R la soluzione del problema di Cauchy

u^′′(x) + 6u^′(x) = 24e^−2x

u(0) = 1

u^′(0) = 0.

Calcolare u^′′′(0) e u(1).

Calcolo delle derivate iniziali

Si ha

u^′′(x) = 24e^−2x − 6u^′(x)

da cui u^′′(0) = 24; derivando si ha

u^′′′(x) = −48e^−2x − 6u^′′(x)

e quindi u^′′′(0) = −48 − 144 = −192.

Risoluzione dell’equazione

Risolviamo ora l’equazione; l’equazione caratteristica è data da

λ² + 6λ = 0

che ha le soluzioni λ = 0 e λ = −6; ne segue che l’integrale generale dell’omogenea associata è dato da

ū(x) = c₁ + c₂e^−6x.

Il termine noto è di tipo esponenziale, con esponente −2x. Non essendo −2 radice dell’equazione caratteristica, cerchiamo una soluzione particolare della forma

u_p(x) = ae^−2x.

Si ha

u_p^′(x) = −2ae^−2x; u_p^′′(x) = 4ae^−2x.

Inserendo il tutto nell’equazione data si ha

4ae^−2x − 12ae^−2x = 24ae^−2x ⇐⇒ a = −3.

La soluzione generale è quindi data da

u(x) = c₁ + c₂e^−6x − 3e^−2x.

La condizione u(0) = 1 dà c₁ + c₂ = 4; intanto si ha

u^′(x) = −6c₂e^−6x + 6e^−2x

per cui u^′(0) = 0 restituisce c₂ = 1. Dunque c₁ = 3, e la soluzione risulta essere

u(x) = 3 + e^−6x − 3e^−2x

da cui

u^′(x) = −6e^−6x + 6e^−2x.

Ne segue che u^′(1) = −6e⁻⁶ + 6e⁻².