Equazione differenziale ordinaria 11

Soluzione dell’equazione differenziale

Data l’equazione differenziale

u′(x) = x u(x)√[?]{4(1 − u²(x))}

determinare la soluzione generale, in forma implicita, e trovare, se esistono, le soluzioni particolari dei problemi di Cauchy: u(0) = 2; u(0) = √3/2.

Soluzione generale

Risolviamo l’equazione data come equazione a variabili separabili; calcoliamo quindi la soluzione.

∫ u√{1 − u²} du = −∫ du =

− 4/3 (1 − u²)^3/2 + k = − 4/3 (1 − u²)^3/2 + k

= − 4/3 (1 − u²)^3/2 + k.

∫ x dx = x²/2 + k.

Allora la soluzione è data da

− 4/3 (1 − u²(x))^3/2 = x²/2 + c, c ∈ ℝ.

Tale soluzione è locale, e si estende, oltre al suo dominio, fino a che u = 0 od u = ±1, condizioni proibite in partenza, poiché annullano o rendono indefinita b(u).

Problemi di Cauchy

Per quanto riguarda i problemi di Cauchy, il primo, u(0) = 2, darebbe

u(0) = 2 ⇔ − 4/3 (1 − 4)^3/2 = −27 = c,

che non ha soluzioni reali; il secondo invece dà

u(0) = √3/2 ⇔ − 4/3 (1 − 3/4)^3/2 = c.