Elementi di trigonometria

Prof. Raffaele Santoro

Elementi di trigonometria

y = cos x

y = sin x

Scuola Europea di Lussemburgo - Anno scolastico 1992-93

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Riproduzione vietata con ogni mezzo 2

R. Santoro: Elementi di trigonometria

Indice

Introduzione ........................................................................................................................................................ 4

1 Misura degli angoli ......................................................................................................................................... 5

Esercizi ................................................................................................................................................ 5

2 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot. ...................................................................... 6

3 Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze .............................................................. 8

Esercizi ................................................................................................................................................ 9

4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante ....................................................................................... 10

Esercizio .............................................................................................................................................. 11

5 Calcolo di funzioni goniometriche per angoli particolari ............................................................................ 11

Esercizi ................................................................................................................................................ 12

6 Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche ............................................................................. 13

7 Formule di addizione e sottrazione ............................................................................................................... 14

Esercizi ................................................................................................................................................ 16

8 Formule di duplicazione, di bisezione e formule parametriche .................................................................. 16

Esercizi ................................................................................................................................................ 19

9 Equazioni goniometriche fondamentali ........................................................................................................ 20

a) Equazione sin x = m ..................................................................................................................... 20

b) Equazione cos x = m .................................................................................................................... 21

c) Equazione tan x = m ..................................................................................................................... 22

Esercizi ................................................................................................................................................ 23

10 Equazioni goniometriche di tipo particolare ............................................................................................... 23

a² cos x + b sin x + c = 0

a) Equazioni del tipo ........................................................................................................................ 24

a sin² x + b cos x + c = 0

b) Equazioni del tipo ........................................................................................................................ 24

a sin x + b cos x = 0

c) Equazioni del tipo ........................................................................................................................ 24

a sin x + b cos x = c

d) Equazioni del tipo ........................................................................................................................ 25

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d

e) Equazioni del tipo ........................................................................................................................ 25

Esercizi ................................................................................................................................................ 25

11 Risoluzione dei triangoli rettangoli .............................................................................................................. 26

Esercizi ................................................................................................................................................ 27

12 Risoluzione di un triangolo qualunque ........................................................................................................ 28

Area di un triangolo ............................................................................................................................ 28

Area di un parallelogramma ............................................................................................................... 28

Teorema dei seni ................................................................................................................................. 29

Teorema delle proiezioni .................................................................................................................... 29

Teorema del coseno ........................................................................................................................... 29

Esercizi ................................................................................................................................................ 31

y = k sin(ax + b) e y = k cos(ax + b)

13 Studio delle funzioni ................................................................................................................................. 32

Esercizi ................................................................................................................................................ 34

14 Disequazioni goniometriche ......................................................................................................................... 35

Esercizi ................................................................................................................................................ 40

Appendice: Valori numerici delle funzioni goniometriche .............................................................................. 41

Introduzione

Queste note di Trigonometria, se da una parte sono state scritte esplicitamente per gli studenti delle Scuole Europee, dall'altra hanno anche l'ambizione di servire ad un triplice scopo:

• Come corso di base per studenti di scuola media superiore.
• Come materiale di riferimento per una ripetizione per gli esami di maturità o per dei corsi universitari.
• Come corso rapido per qualunque persona dotata di cultura media che voglia cimentarsi per la prima volta nello studio di tale disciplina.

Indice

Un'occhiata all'Indice mostra chiaramente i contenuti essenziali ed anche i limiti del lavoro proposto. Infatti, se è possibile trovare chiaramente le definizioni delle funzioni goniometriche, le loro proprietà, la loro rappresentazione grafica e quasi tutto il formulario indispensabile, manca la discussione su come risolvere alcuni tipi particolari di equazioni goniometriche, mancano le formule di Briggs (!), o altre applicazioni particolari alla geometria¹.

Ho preferito non dedicare neanche una parola all'uso della calcolatrice elettronica, per il calcolo delle funzioni goniometriche e delle loro inverse, in quanto esistono sul mercato diversi tipi di calcolatrici, ciascuna delle quali munita del manuale d'uso. Per contro ho preferito mettere alla fine delle note un'Appendice con una tavola numerica dei valori delle funzioni goniometriche per angoli che vanno da 0° a 45°.

Luxembourg, febbraio 1993

¹ Nella speranza di non incorrere, in tal modo, nelle invettive del Prof. Giulio Cortini, che molti anni fa scrisse sulla terza pagina dell'Unità un articolo il cui titolo suonava vagamente: Trigonometria e patriottismo nazionale.

1 Misura degli angoli

Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali, oppure in radianti.

Un grado sessagesimale (°) è la 360-ma parte dell'angolo giro. In questo modo:

• Un angolo giro misura 360°.
• Un angolo piatto misura 180°.
• Un angolo retto misura 90°.

Esistono dei sottomultipli del grado, il primo ('), uguale a 1/60 di grado, ed il secondo ("), uguale ad 1/60 di primo.

Un radiante è quell'angolo al centro di una circonferenza che si oppone ad un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza. In questo modo:

• Un angolo giro misura 2π radianti.
• Un angolo piatto misura π radianti.
• Un angolo retto misura π/2 radianti.

In generale, per convertire i gradi sessagesimali in radianti e viceversa, basta tener conto della seguente proporzione (dove α indica la misura di un angolo in gradi sessagesimali e ρ la misura dello stesso angolo in radianti):

ρ/π = α/180 (1)

ρ = πα/180

α/360 = ρ/(2π) (2)

α = 180ρ/π

La relazione (1) consente di esprimere la misura di un angolo in radianti conoscendo la sua misura in gradi.

La relazione (2) consente di esprimere la misura di un angolo in gradi conoscendo la sua misura in radianti.

Esempi

1 Dalla relazione (2) si ha subito, ponendo in essa ρ = 1, che un radiante corrisponde a circa 57°17'44".

2 Dalla relazione (1), ponendo α = 30°, si ha per lo stesso angolo una misura in radianti = π/6.

Esercizi

1 Convertire in radianti i seguenti angoli: 15°, 45°, 130°20'18".

2 Convertire in gradi i seguenti angoli espressi in radianti: 0.123, 2.45, 5π/8.

2 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot

Si definisce, nel piano cartesiano, circonferenza goniometrica quella circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio uguale ad 1.

Il punto P si chiama punto goniometrico corrispondente all'angolo goniometrico α (misurato sempre a partire dalla direzione positiva dell'asse x, in senso antiorario se positivo, in senso orario se negativo). La rappresentazione geometrica dell'angolo α è definita a meno di un multiplo intero di 360°.

Si definisce seno dell'angolo α il numero reale indicato e dato da:

sin α = PM/OP = PM/1 = PM (3)

Si definisce coseno dell'angolo α il numero reale indicato e dato da:

cos α = OM/OP = OM/1 = OM (4)

La definizione (3) consente di affermare che: il seno di un angolo goniometrico è uguale all'ordinata del punto goniometrico corrispondente.

La definizione (4) consente di affermare che: il coseno di un angolo goniometrico è uguale all'ascissa del punto goniometrico corrispondente.

Si definisce tangente dell'angolo α il numero reale indicato e dato da:

tan α = sin α/cos α (5).

Si definisce cotangente dell'angolo α il numero reale indicato e dato da:

cot α = cos α/sin α = 1/tan α (6).

Per trovare il significato geometrico di tan α, basta fare riferimento alla figura a lato e scrivere che (tenendo presente la similitudine dei due triangoli rettangoli OMP e OAT):

tan α = sin α/cos α = PM/OM = AT/OA = AT/1 = AT.

Analogamente, dalla stessa figura (tenendo presente la similitudine dei triangoli rettangoli OMP e OBQ), si ha il significato geometrico di cot α:

cot α = cos α/sin α = OM/PM = BQ/OB = BQ/1 = BQ.

Dalle definizioni precedenti delle funzioni goniometriche è possibile stabilire la seguente tabella sul segno di dette funzioni al variare dell'angolo α:

Funzione — Periodicità

0° < α < 90° — 90° < α < 180° — 180° < α < 270° — 270° < α < 360°

sin α — 360°: +, +, -, -

cos α — 360°: +, -, -, +

tan α — 180°: +, -, +, -

cot α — 180°: +, -, +, -

La figura seguente illustra graficamente le variazioni nel segno delle funzioni goniometriche quando il punto goniometrico corrispondente si trova in uno dei quattro quadranti:

sin, cos, tan, cot

+ + + +

- + - -

- - + +

+ - - -

L'ultima colonna della tabella precedente ('Periodicità') fa riferimento ad una proprietà importante delle funzioni goniometriche: i valori di dette funzioni si ripetono periodicamente come segue:

sin α = sin(α + 360°) = sin(α + 720°) = ... = sin(α + k · 360°)

cos α = cos(α + 360°) = cos(α + 720°) = ... = cos(α + k · 360°)

tan α = tan(α + 180°) = tan(α + 360°) = ... = tan(α + k · 180°)

cot α = cot(α + 180°) = cot(α + 360°) = ... = cot(α + k · 180°)

dove k è un numero intero (positivo o negativo) qualsiasi.

La periodicità delle funzioni goniometriche è importante in quanto consente di limitare lo studio di tali funzioni su un sottoinsieme opportuno dell'insieme dei numeri reali R.

Infine tale aspetto (la periodicità) delle funzioni goniometriche fa sì che queste funzioni siano molto utilizzate nella descrizione matematica di fenomeni naturali che hanno una periodicità temporale: moti periodici in generale, oscillazioni, moti rotatori, moti ondulatori, e così via.

3 Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OMP della figura precedente si ha:

PM² + OM² = OP² ⇒ (sin α)² + (cos α)² = 1 (7)

La relazione precedente si scrive anche:

sin² α + cos² α = 1.

La (7) è detta anche relazione fondamentale della goniometria. Da questa è possibile dedurre alcune conseguenze immediate:

a) Le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate:

-1 ≤ sin α ≤ +1

-1 ≤ cos α ≤ +1

b) sin α = ±√(1 - cos² α) (8)

cos α = ±√(1 - sin² α) (9)

c) Dividendo entrambi i membri della (7) per cos² α (supposto diverso da 0) si ha successivamente:

sin² α/cos² α + 1 = 1/cos² α ⇒ tan² α + 1 = 1/cos² α ⇒ cos α = ±1/√(1 + tan² α) (10)

sin α = tan α · cos α = tan α · ±1/√(1 + tan² α)

sin α = ±tan α/√(1 + tan² α) (11)

Le indeterminazioni nel segno delle relazioni (8), (9), (10) e (11) vengono risolte conoscendo la misura dell'angolo α.

Le formule (8)-(11) sono molto importanti in quanto consentono di determinare i valori delle funzioni goniometriche di un angolo a partire dalla conoscenza di uno solo di questi valori.

La relazione (8) consente di calcolare sin α conoscendo il valore di cos α.

La relazione (9) consente di calcolare cos α conoscendo il valore di sin α.

La relazione (10) consente di calcolare cos α conoscendo il valore di tan α.

La relazione (11) consente di calcolare sin α conoscendo il valore di tan α.

Per tutte le formule, bisogna fare attenzione al valore dell'angolo per attribuire il giusto segno al valore della funzione goniometrica calcolata!

Esempi

1 Sia sin α = 2/3 ed α compreso tra 90° e 180°. Si ha:

cos α = -√(1 - (2/3)²) = -√5/3

tan α = sin α/cos α = (2/3)/(-√5/3) = -2/√5

cot α = 1/tan α = -√5/2.

2 Sia tan α = -3 ed α compreso tra 270° e 360°. Si ha:

sin α = -3/√(1 + (-3)²) = -3/√10

cos α = 1/√10

cot α = -1/3.

Esercizi

1 Sapendo che sin α = -1/3 e che α è compreso tra 180° e 270°, calcolare cos α, tan α, cot α.

2 Sapendo che cot α = 2 e che α è compreso tra 180° e 270°, calcolare sin α, cos α, tan α.

3 Sapendo che cos α = 1/2, calcolare sin α, tan α, cot α, distinguendo le varie soluzioni possibili.

4 Il numero reale m rappresenta il seno di un angolo e viene dato come soluzione dell'equazione di secondo grado: 3m² + 10m + 3 = 0.

a) Discutere le soluzioni dell'equazione.

b) Determinare, per i valori accettabili di m, i valori delle corrispondenti funzioni goniometriche coseno, tangente, cotangente.

5 Un angolo acuto è tale che tan α = 2/3. Determinare i valori di sin α, di cos α e di cot α.

6 Se m rappresenta la tangente di un angolo α, trovare i valori possibili di m dati dall'equazione:

(1 - m²)/(1 + m²) = -2m/(1 + m²). (Attenzione: per un'equazione di secondo grado, il cui coefficiente del termine di secondo grado si annulla, una radice è infinita...)

4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante

Con l'espressione 'riduzione al primo quadrante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica di un angolo compreso tra 0° e 90°.

La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti:

sin(180° - α) = sin α

cos(180° - α) = -cos α (12)