Elementi di trigonometria

Prof. Raffaele SANTORO

Elementi di trigonometria y = cosx

y = sinx

Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1992-93

 1993 - Tutti i diritti riservati

Riproduzione vietata con ogni mezzo 2

R. SANTORO:Elementi di trigonometria Indice

Introduzione ........................................................................................................................................................ 4

1 Misura degli angoli ......................................................................................................................................... 5

Esercizi ................................................................................................................................................ 5

2 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot. ...................................................................... 6

3 Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze .............................................................. 8

Esercizi ................................................................................................................................................ 9

4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante ....................................................................................... 10

Esercizio .............................................................................................................................................. 11

5 Calcolo di funzioni goniometriche per angoli particolari ............................................................................ 11

Esercizi ................................................................................................................................................ 12

6 Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche ............................................................................. 13

7 Formule di addizione e sottrazione ............................................................................................................... 14

Esercizi ................................................................................................................................................ 16

8 Formule di duplicazione, di bisezione e formule parametriche .................................................................. 16

Esercizi ................................................................................................................................................ 19

9 Equazioni goniometriche fondamentali ........................................................................................................ 20

a) Equazione sinx = m ..................................................................................................................... 20

b) Equazione cosx = m .................................................................................................................... 21

c) Equazione tanx = m..................................................................................................................... 22

Esercizi ................................................................................................................................................ 23

10 Equazioni goniometriche di tipo particolare................................................................................................ 23

  

2

a cos x b sin x c 0

a) Equazioni del tipo ........................................................................ 24

  

2

a sin x b cos x c 0

b) Equazioni del tipo ........................................................................ 24

 

a sin x b cos x 0

c) Equazioni del tipo ................................................................................. 24

 

a sin x b cos x c

d) Equazioni del tipo ................................................................................. 25

  

2 2

a sin x b sin x cos x c cos x d

e) Equazioni del tipo ................................................ 25

Esercizi ................................................................................................................................................ 25

11 Risoluzione dei triangoli rettangoli .............................................................................................................. 26

Esercizi ................................................................................................................................................ 27

12 Risoluzione di un triangolo qualunque ........................................................................................................ 28

Area di un triangolo ............................................................................................................................ 28

Area di un parallelogramma ............................................................................................................... 28

Teorema dei seni ................................................................................................................................. 29

Teorema delle proiezioni .................................................................................................................... 29

Teorema del coseno ........................................................................................................................... 29

Esercizi ................................................................................................................................................ 31

   

y k sin( ax b

) e y k cos( ax b

)

13 Studio delle funzioni ......................................................... 32

Esercizi ................................................................................................................................................ 34

14 Disequazioni goniometriche ......................................................................................................................... 35

Esercizi ................................................................................................................................................ 40

Appendice: Valori numerici delle funzioni goniometriche............................................................................... 41 3

R. SANTORO:Elementi di trigonometria Introduzione

Queste note di Trigonometria, se da una parte sono state scritte esplicitamente per gli studenti delle

Scuole Europee, dall'altra hanno anche l'ambizione di servire ad un triplice scopo:

1 come corso di base per studenti di scuola media superiore

2 come materiale di riferimento per una ripetizione per gli esami di maturità o per dei corsi

universitari

3 come corso rapido per qualunque persona dotata di cultura media che voglia cimentarsi per la

prima volta nello studio di tale disciplina.

Indice

Un'occhiata all' mostra chiaramente i contenuti essenziali ed anche i limiti del lavoro

proposto. Infatti, se è possibile trovare chiaramente le definizioni delle funzioni goniometriche, le

loro proprietà, la loro rappresentazione grafica e quasi tutto il formulario indispensabile, manca la

discussione su come risolvere alcuni tipi particolari di equazioni goniometriche, mancano le formule

1

di Briggs (!), o altre applicazioni particolari alla geometria .

Ho preferito non dedicare neanche una parola all'uso della calcolatrice elettronica, per il calcolo delle

funzioni goniometriche e delle loro inverse, in quanto esistono sul mercato diversi tipi di calcolatrici,

ciascuna delle quali munita del manuale d'uso. Per contro ho preferito mettere alla fine delle note

Appendice

un' con una tavola numerica dei valori delle funzioni goniometriche per angoli che

vanno da 0 a 45.

Luxembourg, febbraio 1993

1 Nella speranza di non incorrere, in tal modo, nelle invettive del Prof. Giulio CORTINI, che molti anni fa scrisse sulla

terza pagina dell'Unità un articolo il cui titolo suonava vagamente: Trigonometria e patriottismo nazionale. 4

R. SANTORO:Elementi di trigonometria

1 Misura degli angoli

Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali, oppure in radianti.

Un grado sessagesimale () è la 360-ma parte dell'angolo giro. In questo modo:

- un angolo giro misura 360

- un angolo piatto misura 180

- un angolo retto misura 90 .

Esistono dei sottomultipli del grado, il primo ('), uguale a 1/60 di grado, ed il secondo ("), uguale

ad 1/60 di primo.

Un radiante è quell'angolo al centro di una circonferenza che si oppone ad un arco di lunghezza

uguale al raggio della circonferenza. In questo modo:

- un angolo giro misura 

lunghezza circonferenza 2 r 

 

radianti radianti 2 radianti

raggio r



- un angolo piatto misura radianti



- un angolo retto misura radianti.

2

In generale, per convertire i gradi sessagesimali in radianti e viceversa, basta tener conto della

 

seguente proporzione (dove indica la misura di un angolo in gradi sessagesimali e la misura

dello stesso angolo in radianti): 

  

 (

1

)



  

2 180

  

 180

360 

 

 ( 2

)

 



La relazione (1) consente di esprimere la misura di un angolo in radianti conoscendo la sua

misura in gradi.

La relazione (2) consente di esprimere la misura di un angolo in gradi conoscendo la sua misura

in radianti.

Esempi 

1 Dalla relazione (2) si ha subito, ponendo in essa = 1, che un radiante corrisponde a circa

5717'44".   /6.

2 Dalla relazione (1), ponendo = 30, si ha per lo stesso angolo una misura in radianti =

Esercizi

1 Convertire in radianti i seguenti angoli: 15, 45, 13020'18". /8.

2 Convertire in gradi i seguenti angoli espressi in radianti: 0.123, 2.45, 5

R. SANTORO:Elementi di trigonometria

2 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot.

y Si definisce, nel piano cartesiano, circonferenza

goniometrica quella circonferenza che ha il centro

nell'origine degli assi cartesiani e raggio uguale ad

P 1.

1 Il punto P si chiama punto goniometrico

 

corrispondente all'angolo goniometrico

x



O (misurato sempre a partire dalla direzione positiva

dell'asse x, in senso antiorario se positivo, in senso

orario se negativo). La rappresentazione



geometrica dell'angolo è definita a meno di un

multiplo intero di 360.





Si definisce seno dell'angolo il numero reale indicato e dato da:

sin

PM PM

    (3)

sin PM

OP 1 



Si definisce coseno dell'angolo il numero reale indicato e dato da:

cos

OM OM

    (4)

cos OM

OP 1 

La definizione (3) consente di affermare che: il seno di un angolo goniometrico è uguale

all'ordinata del punto goniometrico corrispondente. 

La definizione (4) consente di affermare che: il coseno di un angolo goniometrico è uguale

all'ascissa del punto goniometrico corrispondente. 

 tan

Si definisce tangente dell'angolo il numero reale indicato e dato da:



sin

  (5).

tan 

cos 

 cot

Si definisce cotangente dell'angolo il numero reale indicato e dato da:



cos 1

  

cot (6).

 

sin tan

y B Q Per trovare il significato geometrico di tan, basta fare

riferimento alla figura a lato e scrivere che (tenendo

P presente la similitudine dei due triangoli rettangoli

T OMP e OAT):

 

sin PM AT AT

     

x .

tan AT



O 

A cos OM OA 1

Analogamente, dalla stessa figura (tenendo presente la

similitudine dei triangoli rettangoli OMP e OBQ), si ha

il significato geometrico di cot:



cos OM BQ BQ

     

cot BQ

.



sin PM OB 1 6

R. SANTORO:Elementi di trigonometria

Dalle definizioni precedenti delle funzioni goniometriche è possibile stabilire la seguente tabella

:

sul segno di dette funzioni al variare dell'angolo

funzione Periodicità

0<<90 90<<180 0<<270 0<<360

angolo 

+ + - -

sin 360

+ - - +

cos 360

+ - + -

tan 180

+ - + -

cot 180

La figura seguente illustra graficammente le variazioni nel segno delle funzioni goniometriche

quando il punto goniometrico corrispondente si trova in uno dei quattro quadranti:

   

s i n c o s ta n c o t +

+ + +

- + -

-

- +

- - +

+ -

-

L'ultima colonna della tabella precedente ('Periodicità') fa riferimento ad una proprietà

importante delle funzioni goniometriche: i valori di dette funzioni si ripetono periodicamente

come segue:

   

          

sin sin( 360 ) sin( 720 ) ... sin( k 360 )

   

          

cos cos( 360 ) cos( 720 ) ... cos( k 360 )

   

          

tan tan( 180 ) tan( 360 ) ... tan( k 180 )

   

          

cot cot( 180 ) cot( 360 ) ... cot( k 180 )

dove k è un numero intero (positivo o negativo) qualsiasi.

La periodicità delle funzioni goniometriche è importante in quanto consente di limitare lo studio

di tali funzioni su un sottoinsieme opportuno dell'insieme dei numeri reali R.

Infine tale aspetto (la periodicità) delle funzioni goniometriche fa sì che queste funzioni siano

molto utilizzate nella descrizione matematica di fenomeni naturali che hanno una periodicità

temporale: moti periodici in generale, oscillazioni, moti rotatori, moti ondulatori, e così via.

3 Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OMP della figura precedente si ha:

 

    

2 2 2 2 2

PM OM OP (sin ) (cos ) 1 7

R. SANTORO:Elementi di trigonometria

La relazione precedente si scrive anche:

 

 

2 2 (7).

sin cos 1

La (7) è detta anche relazione fondamentale della gonometria. Da questa è possibile dedurre

alcune conseguenze immediate:

a) Le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate:

 

-1 sin +1

 

-1 cos +1

 

   2

b) (8)

sin 1 cos

 

   2 (9)

cos 1 sin 

2

c) Dividendo entrambi i membri della (7) per cos (supposto diverso da 0) si ha

successivamente:



2

sin 1 1 1

 

       

2 2

1 tan 1 cos

   



2 2 2 2

cos cos cos 1 tan

1

   (10)

cos 

 2

1 tan

 



sin 1

 

    

       

sin cos tan cos tan  

 



cos  

2

1 tan



tan

   (11)

sin 

 2

1 tan

Le indeterminazioni nel segno delle relazioni (8), (9), (10) e (11) vengono risolte conoscendo la

.

misura dell'angolo

Le formule (8)-(11) sono molto importanti in quanto consentono di determinare i valori delle

funzioni goniometriche di un angolo a partire dalla conoscenza di uno solo di questi valori.

La relazione (8) consente di calcolare sin conoscendo il valore di cos.

La relazione (9) consente di calcolare cos conoscendo il valore di sin.

La relazione (10) consente di calcolare cos conoscendo il valore di tan.

La relazione (11) consente di calcolare sin conoscendo il valore di tan.

Per tutte le formule, bisogna fare attenzione al valore dell’angolo per attribuire il giusto segno al

valore della funzione goniometrica calcolata! 8

R. SANTORO:Elementi di trigonometria

Esempi 

1 Sia sin=2/3 ed compreso tra 90 e 180. Si ha:

2

 

2 5

     

 

cos 1  

3 3

2 2 2

3

     

tan 5

5

5 5

 3

1 5

   

cot .



tan 2



2 Sia tan=-3 ed compreso tra 270 e 360. Si ha:



3 3

  

sin   2 10

1 ( 3

)

1

  .

cos 10

1

  

cot .

3

Esercizi 1   

 

 

1 Sapendo che e che è compreso tra 180 e 270, calcolare cos , tan ,cot

sin .

3   

 sin , cos , tan

2 Sapendo che cot = 2 e che è compreso tra 180 e 270, calcolare .

1

    

3 Sapendo che , calcolare distinguendo le varie soluzioni possibili.

cos sin , tan ,cot ,

2 

4 Il numero reale m rappresenta il seno di un angolo e viene dato come soluzione

2

dell'equazione di secondo grado: 3m + 10m + 3 = 0.

a) Discutere le soluzioni dell'equazione.

b) Determinare, per i valori accettabili di m, i valori delle corrispondenti funzioni

goniometriche coseno, tangente, cotangente.

4



 

5 Un angolo acuto è tale che Determinare i valori di sin, di cos e di cot.

tan .

3 ,

6 Se m rappresenta la tangente di un angolo trovare i valori possibili di m dati dall'equazione:

 2

1 m 2 m

   . (Attenzione: per un'equazione di secondo grado, il cui coefficiente del

1

 

2 2

1 m 1 m

termine di secondo grado si annulla, una radice è infinita...) 9

R. SANTORO:Elementi di trigonometria

4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante

Con l'espressione 'riduzione al primo quadrante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione

goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica

di un angolo compreso tra 0 e 90.

La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti:

 

   

sin(

180 ) sin 

 

     (12)

cos(

180 ) cos 

 