Geometria modulo 1 - Esercizi

Modulo 1: Rette e piani

Esercizi di geometria - modulo 1: Rette e piani

Esercizio 1

Determinare un’equazione cartesiana per la retta r del piano (x y) che passa per i punti P(1, 2) e Q(1, 5).

Soluzione: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0, − = −3) = ∙ In forma parametrica: = 1 + 0 =1: ⇒ : − 1 = 0 { { = 2 − 3 = 2 − 3 = 0 + 0

Commenti: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ L’equazione di una retta passante per due punti è: − = ∙ dove O è l’origine (0, 0).

0 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Le componenti dei due vettori e sono date dalla differenza tra le coordinate dell’origine e le 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ (1, (0, coordinate dei punti dati, per esempio: = 2) − 0) = (1, 2). In sintesi le componenti del ⃗⃗⃗⃗⃗ P. vettore sono uguali alle coordinate del punto r.

Per trovare la retta in forma parametrica: − = − = : { − = Dove, , sono le componenti del vettore, che fornisce la direzione della retta, e si trovano facendo la differenza tra le componenti dei due punti dati.

t t Infine si elimina, se non è possibile eliminare la variabile da una delle equazioni, si prendono in considerazione solo l’equazione (o equazioni) che non presentano t.

Esercizio 2

r Determinare un’equazione cartesiana della retta del piano (x y) di equazioni parametriche: = 2 − 1: { =+5

Soluzione: = 2 − 1 ⇒ = 2 − 10 − 1: { = +5 ⇒ = −5: − 2 + 11 = 0

Esercizio 3

s Determinare equazioni parametriche per la retta del piano (x y) di equazione cartesiana:: 2 − + 3 = 0

Soluzione: (0, ∈ : = 0 = 3 ⇒ = 3) ∈ (1, ∈ : = 1 = −5 ⇒ = −5) ∈ 1

Modulo 1: Rette e piani

Direzione della retta s: ⃗⃗⃗ = − = (1, 2) = = 3 + 2: { =0

Esercizio 4

h k h k Scrivere i valori e (∊ ℝ) tali che i punti P (0, 1, 1) ; P (1, 1, 0) ; P ( , 0, ) siano allineati. 1 2 3

Soluzione: Dire che due o più punti sono allineati equivale a dire che appartengono alla stessa retta.

Si verifica che i primi due p