Econometria - i modelli autoregressivi vettoriali

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di econometria

Modulo X – Modelli VAR

1. Modelli autoregressivi vettoriali

Indice del capitolo

• 1.1. Le critiche del Sims ai modelli simultanei strutturali .............................................. 2
• 1.2. Stabilità e instabilità ................................................................................................... 6
• 1.3. Relazioni del modello VAR(p) con il sistema di equazioni simultanee tradizionale 7
• 1.4. La rappresentazione a somma mobile del modello VAR(p)....................................... 9
• 1.5. Le ipotesi stocastiche deboli sui residui e la simulazione dinamica....................... 11
• 1.6. L’ortogonalizzazione dei residui................................................................................ 13
• 1.7. Il modello VAR(1)....................................................................................................... 17
• 1.8. Un esempio di modello VAR(1).................................................................................. 19
• 1.9. Il modello VAR(p)....................................................................................................... 22
• 1.10. Analisi delle risposte all’impulso .............................................................................. 25
• 1.11. Stazionarietà del secondo ordine .............................................................................. 28
• 1.12. Proprietà stocastiche del modello VAR(1) ................................................................ 31
• 1.13. Le equazioni di Yule-Walker per i processi VAR(p)................................................. 33
• 1.14. Il modello MA(q)......................................................................................................... 34
• 1.15. Il modello VARMA(p, q).............................................................................................. 36
• 1.16. I modelli a funzione di trasferimento ....................................................................... 40
• 1.17. Bibliografia ................................................................................................................. 42

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Modulo X – Modelli VAR

1.1. Le critiche del Sims ai modelli simultanei strutturali

Vettoriali autoregressivi

I modelli Vettoriali AutoRegressivi (VAR) rappresentano in una forma speciale le economiche relazioni simultanee tra variabili (nel nostro caso, ma più in generale qualsiasi). Possono quindi essere considerati come forme particolari dei tradizionali sistemi di equazioni simultanee (SEM).¹

Questi furono fortemente criticati, all’inizio degli anni ottanta, dall’economista statunitense C.A. Sims, evidenziando dei difetti che illustriamo con un esempio.

Consideriamo un sistema simultaneo costituito da due equazioni, la prima delle in funzione del reddito corrente e ritardato fino al secondo periodo e del residuo aleatorio; la seconda rappresenta una condizione di equilibrio che definisce il reddito come somma del consumo, degli investimenti e del residuo in una economia chiusa.

c_t = β₀ + β₁y_t-1 + β₂y_t-2 + β₃y_t + u_1t (1.1.1)

y_t = c_t + i_t + u_2t

In termini matriciali esso può essere espresso come:

[c_t y_t]' − [β₁ 0; −1 1][c_t-1 y_t-1]' − [β₂ 0; 0 0][y_t-2 i_t]' = [β₀; 0] + [u_1t; u_2t]

o in maniera più compatta come βy + Γx = u (1.1.2)

dove y_t è il vettore composto dalle variabili [c_t y_t]' che possiamo considerare endogene, x_t è il vettore che contiene le variabili predeterminate, cioè l’esogena i_t e le endogene ritardate, β e Γ sono le matrici dei rispettivi coefficienti, e u_t è il vettore dei residui.

Ma l’esogenità di i_t è discutibile, perché potremmo aggiungere al sistema (1.1.1) un’equazione che definisce gli investimenti in funzione del reddito rendendoli così endogeni.

¹ Simultaneous Equation Model, in inglese.

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c_t = β₁₀ + β₁₁y_t-1 + β₁₂y_t-2 + β₁₃y_t + u_1t

y_t = c_t + i_t + u_2t (1.1.3)

i_t = β₃₀ + β₃₃y_t + u_3t

La suddivisione delle variabili in endogene ed esogene è arbitraria, argomenta il Sims, e quindi, per eliminare questa arbitrarietà, è necessario considerare le variabili come tutte endogene.

Una seconda critica mossa dal Sims ai modelli simultanei tradizionali riguarda il fatto che essi sono costruiti aggregando equazioni ciascuna delle quali definisce una variabile, l’endogena, in funzione di altre secondo una determinata teoria economica. Ogni equazione viene quindi costruita separatamente dalle altre, costituisce cioè un modello di equilibrio parziale, e deriva direttamente da come si ritiene che l’economia sia strutturata. È questo il motivo per cui i modelli simultanei del tipo (1.1.3), derivati dall’assemblaggio di equazioni che definiscono le variabili con forme funzionali fatte discendere da ipotesi economiche, sono detti strutturali.

Ogni equazione del sistema nella sua forma strutturale, critica il Sims, è costituito come modello di equilibrio parziale sulla base di ipotesi economiche che impongono una serie di vincoli. Questi vincoli, però, sono generalmente diversi da equazione a equazione e quindi possono essere inconsistenti, cioè contraddittori tra di loro, quando si considerano le equazioni, i modelli di equilibrio parziale, congiuntamente. Il Sims ne deduce che i modelli simultanei non possono essere costruiti aggregando equazioni che rappresentano modelli di equilibrio parziale; tali equazioni devono molto più semplicemente definire una variabile in funzione di tutte le altre.

Una terza critica mossa dal Sims ai modelli simultanei strutturali attiene all’identificazione delle equazioni. In generale, mentre è possibile stimare in modo univoco i parametri della forma ridotta:

y_t = −β⁻¹Γx_t + β⁻¹u_t = Πx_t + β⁻¹u_t (1.1.4)

la stima dei parametri β e Γ della forma strutturale non è univoca poiché il numero di questi è troppo grande rispetto alle equazioni del sistema. Il problema, detto appunto dell’identificazione delle equazioni simultanee, è risolto diminuendo il numero dei parametri da stimare, vincolandoli a soddisfare delle relazioni tratte dalla teoria economica.² In altre parole, la teoria, dopo essere stata utilizzata per costruire le varie equazioni del modello strutturale, è nuovamente tirata in ballo per essere sfruttata nella soluzione di un problema, quello dell’identificazione, puramente statistico. Qui la critica del Sims (1980), che ritiene “poco credibili” i vincoli fatti derivare dalla teoria economica al fine di rendere stimabili i parametri della forma strutturale del modello.

² Le più semplici di queste sono costituite dall’azzeramento dei parametri. Zero restrictions, in inglese.

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Il Sims (1980), si propone allora di costruire un modello ad equazioni simultanee nel quale:

• Tutte le variabili siano endogene;
• Le equazioni non costituiscano modelli di equilibrio parziale, per cui ogni variabile può dipendere a priori da ogni altra;

ed inoltre sia definito direttamente nella forma ridotta eliminando così il problema della stima dei parametri della forma strutturale e cioè quello di dover determinare i vincoli necessari all’identificazione.

Il modello che risponde a queste esigenze è quello che fa dipendere linearmente l’insieme, il vettore, di variabili y_t al tempo t da se stesso ritardato di una, due, …, p unità temporali:

y_t = A₁y_t−1 + A₂y_t−2 + … + A_py_t−p + u_t (1.1.5)

dove le A₁, A₂, …, A_p sono le matrici dei parametri, quadrate di ordine k, ed u_t = [u_1t u_2t … u_kt]' è il vettore dei residui aleatori al tempo t.

Sfruttando l’operatore di ritardo L la (1.1.5) può essere scritta nella forma più compatta:

A(L)y_t = u_t (1.1.6)

dove A(L) = I_k − A₁L − … − A_pL^p è un polinomio matriciale funzione di L.

Poiché u_t è un vettore aleatorio, anche y_t, per ogni t, lo è. Qualora non si avesse E(y_t) = 0, sarebbe necessario includere nella (1.1.5) un termine vettoriale c. Per semplicità didattica supponiamo che c = 0.

La (1.1.5) rappresenta la regressione di y_t su se stesso ritardato: è chiamata perciò modello Vettoriale AutoRegressivo di ordine p, o più concisamente VAR(p).

Esempio – Il Sims (1980) considerò un vettore y_t composto da sei variabili, la moneta M, il reddito reale Y, il tasso di disoccupazione U, i salari W, il deflatore del reddito P, i prezzi all’importazione PM, e generato da un modello VAR(4) che si aggiunge ad una tendenza lineare deterministica. Noi, a titolo didattico, consideriamo un vettore formato da tre variabili soltanto, rappresentate graficamente in Figura 1.1: la moneta (M), espressa dall’aggregato M1, il prodotto interno lordo in termini reali (Y), ed il livello dei prezzi, (P), descritto dal deflatore del reddito, e lo generiamo tramite un modello VAR di ordine p = 2. I dati trimestrali destagionalizzati utilizzati sono di fonte OCSE e si riferiscono all’Italia relativamente all’orizzonte temporale 1976:1 - 1998:1.

1400 1460 1350 1450 1300 1440 1430 1250 1420 1200 1410 1150 1400 1100 1390 1050 1380 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

M Tendenza lineare Y Tendenza lineare

520 470 420 370 320 270 220 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

P Tendenza lineare

– Figura 1.1 Valori logaritmici (moltiplicati per 100) di M, Y, P.

Le serie storiche, rappresentate in Figura 1.1, sono state tutte espresse in termini logaritmici e la parte deterministica del modello è costituita da una costante e da una tendenza lineare per ciascuna equazione del sistema:

[M_t; Y_t; P_t] = [7.77; 165.19; −2.40] + [0.00; 0.03; 0.00] · t + [0.82 0.08 0.49; 0.10 1.22 0.05; 0.01 0.01 1.56][M_t−1; Y_t−1; P_t−1] + [0.10 0.13 0.52; 0.04 0.38 0.00; −0.03 0.02 0.59][M_t−2; Y_t−2; P_t−2] + [u_1t; u_2t; u_3t] (1.1.7)

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1.2. Stabilità e instabilità

Il modello (1.1.5) può essere considerato sotto almeno tre punti di vista diversi. Esaminiamoli.

Innanzitutto quello economico, ed allora è necessario distinguere tra il breve ed il lungo periodo, nonché ipotizzare l’assenza o la presenza della tendenza. Se questa è presente, può essere direttamente inglobata nella variabile vettoriale y_t oppure può essere rappresentata mediante un polinomio nel tempo, da inserire nel termine c_t, come fatto nell’esempio precedente, ed allora y_t costituisce la deviazione rispetto alla tendenza. Anche il Sims (1980) utilizzò nel suo lavoro le variabili nei loro livelli, regredendole rispetto al tempo e a variabili di comodo stagionali.

Un secondo modo di considerare il modello (1.1.5) è quello matematico. Esso rappresenta allora un’equazione alle differenze finite (stocastica) di ordine p e il tempo varia necessariamente da t = 1 a t = +∞. Allora la y_t generata dall’equazione può divergere verso −∞ o +∞, l’equazione alle differenze possiede soluzioni divergenti, oppure convergere verso un sentiero di equilibrio, l’equazione alle differenze possiede soluzioni convergenti:³ se il modello contiene una tendenza la sua parte VAR genera una y_t convergente, ed affinché avvenga questo, si dimostra che le radici del polinomio in z, cioè le soluzioni dell’equazione:

A(z) = 0 (1.2.1)

devono giacere tutte fuori del cerchio unitario nel campo complesso.^{4 5} In questa situazione il modello VAR, o più precisamente la parte VAR del modello rappresentata dall’equazione alle differenze, è detto stabile. Nei paragrafi seguenti analizzeremo in modo più specifico queste condizioni di stabilità, prima per il modello VAR di ordine uno e poi per quello di ordine generico p.

Il terzo modo di considerare il modello (1.1.5) riguarda le caratteristiche stocastiche di y_t e può essere considerato come il corrispondente stocastico del primo, matematico. Analizzeremo compiutamente questo caso nel paragrafo 1.9.

³ Esiste ovviamente la terza possibilità in cui y_t né diverge né converge.

⁴ Nelle pagine di questo modulo si ricorre alla notazione |A| per indicare il determinante della matrice A. In alcuni casi ricorriamo alla notazione, più conveniente, det A.

⁵ Che in generale sono complesse.

⁶ Quando le radici giacciono esattamente nel cerchio le variabili del modello (1.1.5) né divergono né convergono. Si ha, cioè, una situazione patologica che verrà esaminata nel seguito.

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1.3. Relazioni del modello VAR(p) con il sistema di equazioni simultanee tradizionale

Il modello VAR(p) (1.1.5) può essere considerato come una particolare forma ridotta di un modello di equazioni simultanee tradizionale nel quale tutte le variabili sono endogene.

Per illustrare questo concetto riprendiamo il modello (1.1.1) e lo esprimiamo in termini matriciali nella forma:

[c_t; y_t] = [β₀; 0] + [β₁ 0; 1 0][c_t−1; y_t−1] + [β₂ 0; 0 0][c_t−2; y_t−2] + [β₃; 1]i_t + [u_1t; u_2t] (1.3.1)

cioè in modo compatto:

A₀y_t = Φ₁y_t−1 + Φ₂y_t−2 + Ψ₀x_t + ε_t (1.3.2)

dove y_t = [c_t y_t]', x_t = [i_t]', ε_t = [u_1t u_2t]' e le matrici A₀, Ψ₀, Φ₁, Φ₂ e ε_t sono le corrispondenti nella (1.3.1). L’equazione (1.3.2) rappresenta l’usuale modello strutturale vettoriale autoregressivo a ritardi distribuiti (VARDL).⁷ Dividendolo per A₀ si ottiene:

y_t = A₀⁻¹Φ₁y_t−1 + A₀⁻¹Φ₂y_t−2 + A₀⁻¹Ψ₀x_t + A₀⁻¹ε_t

che diventa il modello VAR(2) dato dalla (1.1.5) se non sussistono variabili esogene e ponendo u_t = A₀⁻¹ε_t, A_i = A₀⁻¹Φ_i, i = 1, 2.

Generalizzando, si può dire che il modello VAR(p) dato dalla (1.1.5) è una forma ridotta, e più precisamente la forma finale, del modello SEM o VARDL:

A₀y_t = Φ₁y_t−1 + … + Φ_py_t−p + ε_t (1.3.3)

in cui tutte le variabili sono endogene.

D’altro canto, in modo generale, scrivendo la (1.1.5) per tutti i tempi t = 1, 2, …, n si ha:

[y₁ y₂ … y_n] = A₁[y₀ y₁ … y_n−1] + A₂[y₋₁ y₀ … y_n−2] + … + A_p[y_1−p y_2−p … y_n−p] + [u₁ u₂ … u_n]

cioè:

Y = A₁Y₋₁ + A₂Y₋₂ + … + A_pY_−p + U (1.3.4)

dove:

Y = [y₁ y₂ ... y_n] (1.3.5)

Y_−i = [y_1−i y_2−i ... y_n−i], i = 1, 2, ..., p (1.3.6)

U = [u₁ u₂ ... u_n] (1.3.7)

La (1.3.1) può essere scritta nella forma ancor più compatta:

Y = ΠZ + U (1.3.8)

se si pone:

Π = [A₁ A₂ ... A_p] (1.3.9)