Econometria - i modelli ARMA

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria – Serie storiche: il dominio temporale

Modulo VII

3 Processi stazionari e modelli ARMA

Indice del capitolo

• 3.1 Serie storiche e processi aleatori................................................................................. 2
• Valori medi condizionati ed incondizionati ......................................................... 2
• Autocovarianze ed autocorrelazioni...................................................................... 3
• 3.2 Processi aleatori stazionari (in senso debole)............................................................. 4
• 3.3 Il processo stazionario in senso forte .......................................................................... 7
• 3.4 La scomposizione del Wold .......................................................................................... 8
• Il filtro lineare........................................................................................................ 9
• La funzione di risposta all’impulso ...................................................................... 9
• 3.5 Il modello autoregressivo a somma mobile (ARMA)................................................ 11
• Lo schema a somma mobile MA(q) ..................................................................... 12
• Lo schema autoregressivo AR(p) ......................................................................... 12
• Lo schema ARMA(p,q)......................................................................................... 13
• 3.6 Stazionarietà ed invertibilità dei modelli ARMA .................................................... 15
• Le equazioni di Yule-Walker ............................................................................... 16
• Le condizioni di invertibilità .............................................................................. 18
• 3.7 Bibliografia ................................................................................................................. 20

2015/04/03;21.31 – Modulo VII Serie storiche: il dominio temporale

3.1 Serie storiche e processi aleatori

Nel capitolo precedente si è ipotizzato che le serie storiche relative ad una { x }_t variabile concernente l’attività economica potessero essere scomposte in una componente secolare, la tendenza, ed in una residuale, contenente le fluttuazioni cicliche. Nel modello (2.3.2) la componente secolare è costituita da un polinomio nel tempo e quella residuale dal processo { v }_t, mentre nel modello (2.3.1) la componente residuale costituisce, a prescindere dalla costante { u }_t, la differenza x_t − x_{t − 1} = ± ±.

Soffermiamoci ora su questa componente residuale che indichiamo più in generale con { y }_t, t = 0, 1, 2, ... e che è essa stessa un processo aleatorio costituito da una successione infinita di variabili aleatorie ordinate secondo il tempo t { } y_−∞, ..., y₋₁, ..., y₀, y₁, y_t, ..., y_∞ (3.1.1).

Questo processo è detto a parametro discreto in quanto gli indici costituiscono un insieme discreto di numeri interi relativi. Un processo aleatorio { y }_t è viceversa detto a parametro continuo quando l’indice è un numero reale variante con continuità in un certo intervallo.

Generalmente conosciamo soltanto una parte (finita) del processo aleatorio { y }_t, di una sua realizzazione: è la serie storica a parametro discreto { y }_t. Analogamente si definisce la serie storica a parametro continuo { y (t) }, ma nel prosieguo, salvo quando esplicitamente indicato, tratteremo soltanto serie storiche e processi aleatori a parametro discreto.

Valori medi condizionati ed incondizionati

Se il valor medio del processo { x }_t è rappresentato perfettamente dalla sua componente tendenziale, allora per ogni t E(y_t) = 0. Questo fatto accade, ad esempio, nei due modelli (2.3.2) e (2.3.3): nel primo possiamo supporre che E(x_t) = α₀ + α₁ · t, per cui E(v_t) = 0, mentre nel secondo, supponendo che sia E(x_t) = x₀ + μ · t (3.1.2), è anche E(x_t) = 0, ∀t.

Si è osservato che il modello (2.3.3) è equivalente all’altro (2.3.1), per cui la (3.1.2) rappresenta anche il valor medio della x_t definita dalla (2.3.1). In effetti, tuttavia, è possibile calcolare il valor medio della x_t in forma diretta tramite la (2.3.1) e condizionatamente all’insieme di informazioni disponibili al tempo t − 1, in particolare alla conoscenza di x_{t − 1}; così si ha:

E(x_t) = x_{t − 1} + μ + E(u_t) = x_{t − 1} + μ (3.1.3), che rappresenta il valor medio condizionato di x_t. Il valor medio (3.1.2) è allora detto incondizionato.

Autocovarianze ed autocorrelazioni

Si è detto nel capitolo precedente che altre caratteristiche delle serie storiche si ritrovano nel loro DGP e quindi nei modelli stocastici che rappresentano queste sono le autocorrelazioni, cioè nella sostanza, insieme alle varianze, i momenti del secondo ordine. Queste caratterizzano, ovviamente, non tanto la componente secolare di { x }_t quanto la sua componente residuale { y }_t, per cui possiamo definire covarianza tra y_t e y_t−τ o, come suol dirsi, autocovarianza di ritardo τ al tempo t:

γ_t(τ) = E[(y_t−τ − E(y_t−τ)) · (y_t − E(y_t))] (3.1.4), per ogni t e τ.

Se poi σ_t² è la varianza di { y }_t, si definisce autocorrelazione di ritardo τ al tempo t il rapporto ρ_t(τ) = γ_t(τ) / σ_t−τ · σ_t, per ogni t e τ. La conoscenza dei momenti secondi di { y }_t permette, poi, di determinare quelli di { x }_t.

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3.2 Processi aleatori stazionari (in senso debole)

La conoscenza dei momenti primi e secondi della distribuzione di probabilità di { x }_t è spesso sufficiente a caratterizzare la sua funzione di densità p(x_t; x_t−1, x_t−2,...) e quindi a dare una rappresentazione stilizzata del DGP di { x }_t. Sfortunatamente, tuttavia, il campione di dati disponibili è generalmente limitato ad una serie storica contenente una sola osservazione per ogni tempo t, ed è quindi in pratica impossibile stimare un vettore di parametri diverso per ogni t.

È per questo motivo che si limita il DGP imponendo la condizione che i momenti primi e secondi di y_t siano invarianti nel tempo; in altre parole si suppone che sia, per ogni t:

E(y_t) = μ (3.2.1)

E[(y_t − μ)²] = σ² = γ₀ < ∞ (3.2.2)

E[(y_t−τ − μ) · (y_t − μ)] = γ(τ), τ = ±1, ±2, ... (3.2.3)

Il processo aleatorio { y }_t che gode di queste proprietà è detto stazionario in senso debole o stazionario del secondo ordine (o in covarianza) ed in termini non rigorosi ma chiarificanti si può dire che generi serie storiche di elementi fluttuanti intorno ad un valor medio, μ, che non cambia nel tempo, con oscillazioni anch’esse di ampiezza media costante.

L’autocovarianza (3.2.3) dipende unicamente dal ritardo di calcolo τ ed è per questo motivo che è detta funzione di autocovarianza; essa è pari, infatti:

γ(τ) = E[(u_t − μ) · (u_t+τ − μ)] = E[(u_t − μ) · (u_t−τ − μ)] = γ(−τ) (3.2.4)

e pertanto la (3.2.3) può essere definita anche per i soli valori τ = 1, 2, ... Si noti che poiché vale la relazione E[(y_t−τ − μ) · (y_t − μ)] = E(y_t−τ · y_t) − μ² per τ = 0, 1, 2, ..., l’invariabilità nel tempo della varianza e delle autocovarianze è garantita da quelle dei momenti secondi non centrali.

Dividendo per σ² la (3.2.3) si ottiene la funzione di autocorrelazione ρ(τ) = γ(τ) / σ², τ = 1, 2, ..., anche questa, ovviamente, funzione pari. Osserviamo infine che non si perde in generalità dal punto di vista statistico se si considerano al posto delle variabili aleatorie y_t quelle scarto y_t − μ e pertanto nel seguito, specialmente nel contesto di dimostrazioni riguardanti processi stazionari in senso debole, sarà lecito supporre μ = 0.

Esempio 3.1 – Se il processo stazionario in senso debole { y }_t possiede valor medio ed autocovarianze tutti nulli, salvo ovviamente la varianza σ², tale processo è detto puramente aleatorio o anche, con terminologia derivata dall’acustica, rumore bianco. Analiticamente, per ogni t è:

E(y_t) = 0

E(y_t−τ · y_t) = 0, τ ≠ 0 (3.2.5)

E(y_t−τ · y_t) = σ², τ = 0

cioè gli elementi del rumore bianco non sono autocorrelati. ∇ Indichiamo generalmente nel seguito con { ε }_t un processo del tipo rumore bianco; la sua realizzazione { ε }_t può essere considerata come il costituente più semplice, elementare, non più ulteriore