Econometria

Lezioni capitolo 29 Cfu

Prof. G. Piras

Anno 2024/2025

Lezione 1 (26/02/25)

“Econometria” significa misurare l’economia. La misura dell’economia avviene con dei valori/variabili.

L’econometria utilizza modelli economici che attraverso dei dati ci aiutano a prevedere o spiegare l’effetto di alcune variabili su altre variabili.

Ci sono tre tipi di dati in econometria:

• Cross section: dati che osservano più individui in un unico istante di tempo. Più unità statistiche e un solo periodo di tempo.
• Serie storiche: osservare un solo fenomeno per un certo numero di anni (es: tasso di disoccupazione in Italia dall’anno n a n +…).
• Panel data: oppure dati longitudinali, sono caratterizzati dal fatto di avere più osservazioni in più periodi di tempo. (es: il crimine in più città analizzato in più anni). Anche questi dati sono un concetto più avanzato e non saranno oggetto del corso.

Partiamo da un modello economico, lo formalizziamo matematicamente per trasformarlo in un modello econometrico per poi analizzarne i dati.

Lezione intro_1 R

Control + invio = run

R può essere usato come una semplice calcolatrice ma posso anche assegnare ad ognuno dei numeri un nome utilizzando la funzione “<-“ chiamata assign.

Es: x <- 4

Stiamo assegnando l’oggetto alla destra (4) alla x. Quando un oggetto è assegnato rimane vivo nell’environment.

Vettore

Per R un vettore non ha dimensioni. Il modo più semplice per crearlo è la funzione c ovvero la funzione “concatenate”.

Questa funzione si può usare per concatenare due vettori ad esempio p <- c(z,e).

Esistono altri tipi di vettori ad esempio quelli “stringa”. Stringa vuol dire nomi, lettere. La differenza è che ogni stringa deve essere virgolettata ad esempio: names <- c("price","sqrft","bed","bath").

Con la funzione toupper(Names) può modificare la stringa e renderla tutta maiuscola, al contrario si userà tolower(Names).

La funzione sort significa mettere in ordine, posso scegliere se mettere in ordine decrescente o crescente il vettore. Se decreasing = TRUE sto creando un vettore decrescente altrimenti no.

Es:
Abbiamo il vettore z <- c(3,2.1,4.55,3,9)

Con zdec <- sort(z, decreasing = TRUE)

Mi appare il vettore in ordine decrescente. 9.00 4.55 3.00 3.00 2.10

Vettori logici

È un vettore di true e false (0 1)

Nel caso z>=3

Mi appare TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE

Con q <- z[z>=3] sto creando un vettore q dal vettore originale z, esso contiene i valori di z ma estrae solo i valori di z che sono >= a 3. Questa operazione si chiama indicizzazione e si usano le parentesi [] ottengo quindi 3.00 4.55 3.00 9.00

Con p <- z [3] sto creando un vettore p che contiene solo il terzo elemento del vettore z e ottengo 4.55

Per estrarre vari numeri si fa u <- z[1:3]. [1:3] significa una sequenza, sto estraendo solo i primi tre valori di z quindi ottengo 3.00 2.10 4.55

u1 <- z[c(1,2)] prende solo i primi due elementi 3.0 2.1

u2 <- z[-c(1,2)] elimina i primi due numeri e lascia solo i restanti 4.55 3.00 9.00

Sequenze, replicazioni

Le sequenze si creano con i “:”

q <- 1:25 tutti i numeri da 1 a 25

Q1 <- seq(1,5) ci sono due argomenti necessari, sto creando una sequenza da 1 a 5

q1 <- seq(1,5,0.5) crea una sequenza da 1 a 5 a step di 0.5, ovvero aumenta di 0.5

Ovvero 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

A <- c(seq(1,30,5),seq(1,2,0.1)) si possono concatenare sequenze usando la funzione concatenate

1.0 6.0 11.0 16.0 21.0 26.0 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

NB: seq(1, 30, 5) vuol dire una sequenza di numeri da uno a 30 a step di 5 e seq(1,2,0.1) vuol dire una sequenza di numeri da 1 a 2 a step di 0.1

15:1 scrivendo così possiamo avere una sequenza al contrario

qqq <- rep(q, 3, length.out = 17) sto replicando la sequenza q e sto aggiungendo un argomento addizionale che si chiama length.out.

Non voglio che la lunghezza del vettore risultante superi 17

La funzione unique prende il vettore e ne crea un altro dove ciascun elemento viene trascritto una sola volta.

La funzione qq <- rep(q, 2, each=2) replica la sequenza due volte e ognuno dei numeri lo replica due volte.

Funzioni utili

• sum(q) somma di un vettore
• diff(q) differenza
• prod(q) prodotto
• cumsum(q) creo la somma cumulata del vettore di partenza q
• cumprod(q) prodotto cumulato

Lezione 2 (27/02/25)

Generare vettori casuali

rnorm vuol dire “r” sta per random e norm è la distribuzione normale.

Sto generando numeri casuali da una distribuzione normale di varie dimensioni. Il primo è un vettore di 10 osservazione ecc…

norm1 <- rnorm(10)
norm2 <- rnorm(100)
norm3 <- rnorm(1000)
norm4 <- rnorm(10000)
norm5 <- rnorm(100000)
norm6 <- rnorm(1000000)

Successivamente vado a creare una tabella e calcolo media e deviazione standard.

tab <- rbind(res1, res2, res3, res4, res5, res6) la funzione rbind mette insieme i vettori in una matrice

colnames(tab) <- c("mean","st.dev") assegno il nome alle colonne della tabella

Dalla tabella emerge che la media tende a 0 e la variazione standard tende a 1.

var(norm6)
median(norm6)
min(norm6) prende il minimo
max(norm6) prende il massimo
range(norm6) prende il minimo e il massimo della distribuzione
diff(range(norm6)) la differenza del massimo e il minimo combinando queste due funzioni

Come generare dei grafici in R

Costruiremo un grafico con 4 figure ciascuna delle quali conterrà un istogramma, una curva della distribuzione normale, una curva,,, una densità basata sui dati.

par(mfrow=c(2,2)) permette di organizzare il grafico mettendo 4 figure nello stesso grafico. La funzione par permette di fissare alcuni parametri grafici, noi ne fisseremo uno solo: mfrow ovvero “multifigures organizzate per row” = 2,2. Stiamo costruendo una tabella di 4 grafici e la stiamo organizzando in righe.

Generiamo poi questi vettori:

p <- rnorm(100)
y <- rnorm(1000)
z <- rnorm(10000)
w <- rnorm(100000)

Istogramma for rnorm

hist(p, freq = FALSE, xlab = "n=100", main = "A", border = "darkred", xlim = c(-4,4))

Il primo è un istogramma che costruisco con la funzione hist. Il primo argomento della funzione è il vettore di cui vogliamo fare l’istogramma, il secondo argomento è la frequenza, il terzo argomento sta per xlab, poi abbiamo main che è il titolo della figura, border è come disegno i bordi dell’istogramma ovvero il colore. L’ultimo argomento è xlim.

curve(dnorm(x), add = T, col = "forestgreen")

Curve è la funzione che disegna la curva e la curva disegnata è dnorm(x) se non aggiungo add = TRUE, R metterebbe questa curva nel secondo grafico. Il colore di questo grafico è forestgreen.

lines(sort(p), dnorm(sort(p)), "l", col = "goldenrod2")

La funzione sort mette in ordine crescente, poi sto associando a ciascun vettore la rispettiva.

lines(density(p), col = "deepskyblue4")

Fa una stima di come è la distribuzione di “p” che sarà comunque quasi normale ma con 10 punti avrà dei picchi.

La densità è molto simile all’istogramma, invece la verde e la gialla hanno quasi la media a 0 e sono quasi sovrapponibili a parte nelle code.

Poi faccio lo stesso per gli altri grafici per metterli a confronto.

Istogramma per t

Sto generando non dalla distribuzione normale ma dalla “t” student. Per la famiglia di distribuzione di “t” dobbiamo specificare i gradi di libertà.

Istogramma per F

La distribuzione F è una distribuzione che non è simmetrica e che dipende da due differenti gradi di libertà. Per generare i random si usa la funzione rf.

Istogramma per uniforme

La funzione per generarla è chiamata runif.

Lezione intro_2 R

Matrici e array

Le matrici in R sono di massimo due dimensioni (n x n) quindi includono i vettori. Gli array sono matrici con più dimensioni.

rm(list=ls()) questo comando combina due funzioni differenti: rimuovi tutto ciò che hai nell’environment. Fa una pulizia dell’ambiente per ripartire da zero.

Il primo comando che eseguo è quello che crea un vettore x <- 1:5 il vettore ha una lunghezza di 5 osservazioni. Il comando dim(x) da NULL mentre il comando length(x) da un valore ovvero 5.

dim(x) <- c(1,5) applichiamo la funzione dim su x e creiamo un vettore di una sola riga e 5 colonne. La classe di x ovvero class(x) ci dice che tipo di oggetto è, ovvero adesso è una matrice e array.

Per costruire una matrice trasposta si usa la funzione y <- t(x). Avremo così un vettore colonna con dimensioni (5 : 1).

La stessa cosa si può ottenere:

x <- 1:5
x <- array(x, c (1,5)) siccome le dimensioni degli array possono essere tante sono aggiunte con la funzione concatenate.
class(x)

Generare arrays da sequenze e numeri random

Con p <- rnorm(30) genera 30 numeri casuali distribuiti normalmente (media 0, varianza 1).

Creo un vettore p e lo trasformo in un array con dimensioni: 10 righe, 1 colonna e 3 vettori.

p <- array(p, c(10,1,3))

p <- array(rnorm(2000), c(10,10,20)) creo 20 matrici di dimensioni 10,10,20

Con PO <- p [, , 1] sto estraendo il primo elemento della terza dimensione. Diciamo prendi tutte le righe e tutte le colonne ma estrai solo la prima matrice.

is.array(p) -> domando a R: p è un array? Avrà come risultato un vettore logico true o false.

as.array(p) -> trasforma p in un array.

Possiamo definire una matrice anche con matrix.

Con l’argomento byrow = TRUE forzo R a scrivere i numeri in riga.

La funzione rbind crea una matrice dove la prima riga è a, la seconda b e la terza c.

La funzione diagonale diag prende tre oggetti differenti: un numero, un vettore o una matrice.

• Se prende un numero creerà una matrice n x n.
• Se prende una matrice estrae la diagonale di quella matrice.
• Se prende un vettore crea una matrice in cui gli elementi della diagonale sono quelli del vettore.

Lezione 3 (28/02/25)

Gli array si usano per salvare i risultati di Montecarlo. Gli array e le matrici hanno una dimensione mentre i vettori non hanno dimensioni ma hanno una lunghezza.

Operare con le matrici -> Basic matrix operations

Creo due matrici A e B.

A <- matrix (1:9,3,3)
B <- matrix (1:9,3,3)

Se eseguo A – B darebbe una matrice 0.

Successivamente genero un numero v <- 2 e lo moltiplico per la matrice A * v. Ogni elemento della matrice A viene moltiplicato per v.

• A - B Matrice di zeri (differenza tra matrici identiche)
• A + B Ogni elemento è raddoppiato rispetto ad A
• A * v Ogni elemento è moltiplicato per 2
• A / v Ogni elemento è diviso per 2

Creo due vettori x e y di grandezza 1, 5.

x <- array (1:5, c(1,5))
y <- array (5:1, c(1,5))

Se facessi il prodotto tra x e y, R mi moltiplica elemento per elemento i due vettori in questo modo:

> x <- array (1:5, c(1,5))
>x
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
> y <- array(5:1, c(1,5))
>y
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 4 3 2 1
> z <- x*y
>z
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 8 9 8 5

Creo una matrice M da 1 a 9 di 3 righe e 3 colonne con M <- matrix(1:9, 3, 3) e un vettore v <- c(1:3)

v*M

Il primo elemento di v moltiplica la prima riga di M.

Il secondo elemento di v moltiplica la seconda riga.

Il terzo elemento di v moltiplica la terza riga.

• M * v il risultato è lo stesso
• M - v Sottrazione per riga
• M + v Addizione per riga
• M / v Divisione per riga

L’operatore %*% esegue il prodotto matriciale (moltiplicazione tra matrice e vettore).

v%*% M produce un vettore riga [14 32 50]

M%*% v produce un vettore colonna [30, 36, 42]

Se trasformo v in una matrice (1x3) con v <- array (v, c(1,3)) e faccio il prodotto matriciale v %*% M ottengo sempre [ 14, 32, 50].

Se invece faccio M %*% v mi dà errore in quanto in R il prodotto matriciale richiede che il numero di colonne della prima matrice corrisponda al numero di righe della seconda.

Regola del prodotto matriciale

Il prodotto tra due matrici A e B indicate come A % * % B in R è possibile solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

Se A ha dimensione (m x n) e B ha dimensione (p x q) allora il prodotto è possibile solo se n = p e il risultato avrà come dimensione ( m x q).

Nel primo caso v%*%M abbiamo che v è una matrice (1 x 3) e M è una matrice (3 x 3). Poiché il numero di colonne di v (3) è uguale al numero di righe di M (3) il prodotto è possibile e il risultato sarà un vettore riga (1 x 3).

Nel secondo caso M %*% v abbiamo che M è una matrice (3 x 3) e v è una matrice (1 x 3). In questo caso il numero di colonne di M (3) non è uguale al numero di righe di v (1), quindi il prodotto non è possibile.

La funzione outer fa il prodotto tra il vettore x e x trasposto (invertito) 1:3 x 3:1 si può scrivere anche così “%o%” oppure x%%t(x).

Qui vado a generare una matrice da una distribuzione uniforme.

X <- matrix(runif(400,1,10), 100, 4)

Genera 400 numeri casuali uniformemente distribuiti tra 1 e 10, matrix(…, 100, 4) organizza questi numeri in una matrice 100 x 4. Come risultato avrà 100 righe e 4 colonne. Ogni riga rappresenta un’osservazione con 4 variabili.

Xt <- t(X) calcola la trasposta di X, cioè scambia righe e colonne.

XtX <- Xt%*%X abbiamo Xt che è (4 x 100) e X che è (100 x 4) quindi il prodotto matriciale è possibile abbiamo come risultato XtX che è una matrice (4 x 4).

NB: XtX è chiamata matrice di Gram o matrice di covarianza non normalizzata, spesso usata in regressione lineare.

XtX2 <- crossprod(X) calcola crossprod(X) = t(X) %*% X, quindi è identico a XtX.

Xpy2 <- crossprod(X,y)
XpXi2 <- solve(XpX2)
b2 <- XpXi2%*%Xpy2

La terza soluzione non è molto efficiente per fare Montecarlo:

b3 <- solve(crossprod(X), crossprod(X,y)) prende l’inverso del primo argomento e lo moltiplica per il secondo argomento.

Lezione intro_3 R liste

Le liste sono un insieme di oggetti di R. Può contenere array, matrici ecc. Essa è una collezione di oggetti di R.

Creo un vettore stringa dove faccio una concatenazione vec <- c("one","two","three")

E poi costruisco una sequenza da 1 a 8 n <- 1:8

Per mettere insieme il vettore numerico e il vettore stringa posso utilizzare una lista. In R si definisce con AN.

AN <- list (char=vec, numer=n)

Il primo elemento è il nome char che è uguale al vettore che ho generato prima vec e il secondo elemento è un elemento che io chiamo numer = n.

Se lo mando ottengo:

$char
[1] "one" "two" "three"
$numer
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8

Da una lista posso tornare indietro e isolare soltanto uno degli elementi della lista scrivendo dopo il $ il nome del vettore.

AN$char
AN$numer

Se non avessi dato nomi ai vettori un’altra maniera è usare una coppia di [].

AN [[1]]
AN [[2]]

Se invece volessi prendere ad esempio solo il primo elemento del primo vettore dovrei scrivere così:

AN [[1]][1]

Se invece volessi prendere solo i primi due elementi del secondo vettore scriverei:

AN [[2]] [1:2]

Creo una lista con due elementi ciascuno avente due elementi.

names <- list (male = c("Bob","Paul"), female = c("Rebecca","Elisabeth"))

height <- list (tall = c(6.2, 7), normal = c(5.8, 6))

Poi per mettere insieme le due liste uso la funzione concatenate e creo una lista unica fatta dalle due liste differenti.

lst <- c(names, height)

Data frames

Un modo di creare un data frame è partire da un insieme di variabili ordinate in un data frame, ad esempio, costruisco 5 vettori: il primo contiene i nomi, il secondo contiene i cognomi, il terzo vettore dice che i primi 6 individui sono uomini e gli altri 6 donne, il quarto l’anno di nascita e il quinto l’altezza.

NB: Rep replica la parola male 6 volte e female 6 volte.

Una volta creati questi vettori li organizzo in un oggetto che in R si chiama dataframe. Ciascuna linea rappresenta un individuo. Con la funzione Data <- data. frame (FNames, LNames,sex,yborn,height) metto insieme tutti questi vettori come colonne di un dataframe.

str (Data) ci dice che l’oggetto data è un frame su 12 osservazioni e 5 variabili, poi dà informazioni su ciascuna variabile.

attributes (Data) chiediamo a R quali sono gli attributi di un frame.

Usando $ possiamo prendere un elemento alla volta es: Data$sex

summary (Data) Possiamo fare un summary dei dati che ci dà minimo, primo quartile ecc, ci dà info sulle variabili quantitative.