Econometria - i modelli econometrici

Francesco Carlucci – Traccia per un corso di econometria

Modulo I – Concetti di base

2 I modelli econometrici e la loro costruzione

Indice del capitolo

• 2.1 Analisi economica e analisi econometrica ..............................................................3
• 2.2 I modelli e le loro caratteristiche ..........................................................................7
• Modelli statici e dinamici ...............................................................................7
• Il breve e il lungo periodo ................................................................................8
• Modelli fisici e analitici ..................................................................................9
• Le variabili logaritmizzate, i tassi di variazione e le elasticità....................... 10
• 2.3 Il processo di specificazione ................................................................................ 14
• Specificazione teorica e specificazione econometrica....................................... 15
• 2.4 Tassonomia delle equazioni ................................................................................ 20
• Equazioni di comportamento ........................................................................ 20
• Equazioni istituzionali ................................................................................. 21
• Equazioni tecniche........................................................................................ 22
• Equazioni definitorie .................................................................................... 22
• Identità ........................................................................................................ 22
• Funzioni di reazione ..................................................................................... 22
• 2.5 Forma strutturale e forma ridotta delle equazioni .............................................. 24
• La struttura economica................................................................................. 24
• Forma ridotta di un modello ......................................................................... 25
• Un modello di domanda e offerta .................................................................. 27
• 2.6 Variabili teoriche e variabili osservabili.............................................................. 29
• Schemi di attese adattive .............................................................................. 29
• L’operatore di ritardo L ................................................................................ 31
• 2.7 La causalità nelle relazioni economiche.............................................................. 33
• La causalità in un modello di domanda e offerta........................................... 33
• Causalità e curva di Phillips ........................................................................ 34
• L’impostazione di D. Hume ........................................................................... 35
• La causalità secondo G.H. Orcutt.................................................................. 36
• L’impostazione di H. Simon .......................................................................... 37
• La causalità secondo H. Wold ....................................................................... 39
• 2.8 Linearizzazione di modelli non lineari rispetto alle variabili ............................... 40
• La tendenza temporale come curva polinomiale deterministica...................... 41
• Semplici forme di equazioni non lineari nelle variabili.................................. 41
• Il sentiero di equilibrio di lungo periodo in forma continua ........................... 42
• Il modello nei logaritmi delle variabili.......................................................... 43
• Riparametrizzazioni ..................................................................................... 43
• La trasformazione delle variabili di Box-Cox................................................. 43
• Il modello lineare.......................................................................................... 45
• Il modello reciproco....................................................................................... 45
• Il modello semilogaritmico............................................................................ 45
• Il modello log-lineare .................................................................................... 45
• 2.9 Analisi dimensionale .......................................................................................... 46
• Dimensioni fondamentali.............................................................................. 46

18/03/03, 17.50 Edizione 2.1

Modulo I – Concetti di base

• Variabili di stock e variabili di flusso ........................................................... 48
• La soddisfazione ........................................................................................... 48
• Verifiche dimensionali delle equazioni .......................................................... 49
• 2.10 Esercizi .............................................................................................................. 51
• 2.11 Riferimenti bibliografici...................................................................................... 52

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Modulo I – Concetti di base

2.1 Analisi economica e analisi econometrica

Per illustrare con chiarezza il significato e gli obiettivi dell’econometria è opportuno partire da alcuni contenuti dell’analisi economica per effettuarne poi un’estensione in termini di elaborazione econometrica; si riesce così più facilmente a metterne in risalto le caratteristiche specifiche e ad evidenziarne le potenzialità.

Un’analisi economica di grande rilevanza fu fatta da J.M. Keynes (1936) quando formulò la relazione tra il consumo e il reddito rappresentabile nella forma c y = α + β (2.1.1) c y α β dove ed sono mentre e sono e la caratterizzò variabili parametri, c y mediante le proposizioni seguenti:

• La funzione è stabile nel tempo;
• L’intercetta è positiva e la propensione marginale al consumo è positiva e inferiore all’unità α > < β <, (2.1.2) 0 0 1 β;
• La propensione è inferiore alla propensione media.

Dal punto di vista matematico la forma (2.1.1) è sia rispetto ai lineare parametri che alle variabili. Per ottenere una forma rispetto a queste è non lineare sufficiente prendere i logaritmi naturali di queste¹ = α + β .ln c ln y

Per ipotizzare le relazioni (2.1.1)-(2.1.2) il Keynes si basò essenzialmente su considerazioni teoriche ed il funzionamento reale del sistema economico fu da lui esaminato, a questo proposito, soltanto in maniera descrittiva.

Sempre nell’ambito dell’analisi economica è possibile supporre che la funzione del consumo offra una descrizione migliore della realtà economica se viene y sostituito dal reddito disponibile = − (2.1.3) d y y v dove è l’imposta globale sul reddito v ( )= α + β − (2.1.4) c y v

In econometria si usano soltanto i logaritmi in base e.¹

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in quanto un esame anche semplificato del comportamento dei consumatori può condurre a ritenere che essi basino le decisioni di spesa sulla quantità di reddito che hanno effettivamente a disposizione una volta che siano detratte le imposte.

Equazioni quali le (2.1.1) e (2.1.4) sono dette in quanto legano le statiche variabili , e allo stesso tempo; ma si può presumere, sempre congetturando c v y in termini di teoria economica, che il consumo al tempo sia piuttosto funzione c t del reddito goduto nei periodi precedenti come nella relazione seguente α > = α + β < β <, (2.1.5) 0 c y 0 1 −t t 1 dove le variabili sono associate ad un indice temporale e è funzione lineare del c t reddito di un’unità temporale, oppure nell’altra ritardato = α + β + β + β (2.1.6) c y y y − −t 0 t 1 t 1 2 t 2 dove la variabile sussiste sia al tempo che ritardato di una e due unità. corrente y

La (2.1.6) può essere ulteriormente generalizzata fino a considerare ritardi del k reddito α β β c = + y + β y + … + y_t t 0 t 1 t-1 k t-k ma sorge in tal caso un dissidio fra gli aspetti teorici e quelli empirici dell’analisi, determinato dal fatto che il numero di ritardi , pur essendo relativamente k semplice da determinare in termini empirici, è difficile da giustificare in termini teorici (perché e non o ?). Questa ulteriore estensione ha quindi un aspetto k k+1 k-1 di arbitrarietà (il numero di ritardi ) che risulta difficilmente conciliabile con le k esigenze di generalità dell’analisi teorica.

Questo dissidio può essere ricomposto se si generalizza la (2.1.6) fino a considerare infiniti ritardi temporali, ottenendosi lo schema a ritardi distribuiti infiniti ∞ ∑ = α + β + β + β + = α + β (2.1.7) c y y y ... y − − −t 0 t 1 t 1 2 t 2 j t j =j 0 nel quale la motivazione economica consiste nel ritenere che il consumo sia funzione di tutta la storia passata del reddito.

Si noti che in effetti è difficile poter supporre che esistano influenze significative dalle sulla per ritardi molto grandi. Dal punto di vista c j y − t t j economico, però, la (2.1.7) ha il pregio di non imporre un ritardo di troncamento k arbitrario. Al contempo, nonostante in essa figurino infiniti parametri, la (2.1.7) ha una forte motivazione in termini operativi, data la facilità con cui lo schema a ritardi distribuiti infiniti può essere trasformato, matematicamente, in modo da

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Modulo I – Concetti di base

β ridurre il numero, infinito, di parametri presenti ed ottenere una relazione j molto parsimoniosa. Se si fanno le ipotesi β = β · ρ < ρ < (2.1.8), j 0 1j che sono fortemente vincolanti dal punto di vista economico, sostituendo nella (2.1.7) si ottiene = α + β + βρ + βρ + (2.1.9) 2 c y y y ... − −t t t 1 t 2 che, ritardata di un’unità temporale, diventa = α + β + βρ + βρ + (2.1.10) 2 c y y y ... − − − −t 1 t 1 t 2 t 3 ρ

Sottraendo, infine, dalla (2.1.9) la (2.1.10) moltiplicata per si ottiene ( ) − ρ = − ρ α + β (2.1.11) c c 1 y −t t 1 t ( ) − ρ α = α cioè, ponendo ,1 ' = α + ρ + β (2.1.12) c ' c y −1t t t β che mostra come lo schema (2.1.7) con infiniti parametri possa essere j α β ρ trasformato in un altro contenente soltanto , e .

Dunque, sotto le ipotesi (2.1.8) due modelli (2.1.7) e (2.1.12) sono equivalenti, sebbene il secondo sia ben più parsimonioso del primo. Dal punto di vista economico, tuttavia, non è affatto detto che le (2.1.8) siano aderenti alla realtà. In altre parole, il dissidio fra aspetti teorici e aspetti empirici è stato ricomposto β inserendo un elemento di rigidità nel modello, cioè l’ipotesi che i decrescano j secondo una progressione geometrica.

Osservazione 2.1 - La quantità quasi differenza c c −t t 1 ρ = della ; se si ha una della . Passando dalla (2.1.9) differenza c c1t t alla (2.1.11) si dice che si è operato con una quasi differenza sulla .c t

Osservazione 2.2 - Dal punto di vista della specificazione economica le due funzioni (2.1.7) e (2.1.12) differiscono per il fatto che nella prima il consumo è funzione del reddito ritardato una, due, ..., infinite volte, mentre nella seconda essa è funzione del solo reddito corrente e di se y t stesso ritardato una sola volta.

Osservazione 2.3 - Se una variabile economica è funzione di se stessa ritardata una o più volte sussiste un fenomeno di inerzia temporale; nella (2.1.12) il consumo è una variabile inerziale.

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All’interno della teoria economica, a questo punto, è difficile, per non dire impossibile, determinare quale sia la relazione migliore, tra quelle esposte, in termini di adeguatezza alla rappresentazione del funzionamento reale del sistema economico; in particolare, la speculazione teorica non è idonea a definire compiutamente la dinamica economica e quindi a discriminare tra le (2.1.5), (2.1.6) e (2.1.12) che presentano il reddito ed il consumo associati ad indici temporali diversi. Per effettuare una scelta razionale, allora, è necessario esaminare la realtà empirica non più soltanto in forma meramente descrittiva, ma con un’indagine più avanzata che utilizzi convenientemente i metodi statistici per la determinazione² (attraverso una stima) dei parametri e per la valutazione (tramite un criterio di ottimo) di ciascuno dei modelli proposti. Dall’analisi economica si passa, in tal guisa, all’analisi econometrica.

Durante le indagini empiriche accade sovente che si abbiano dei suggerimenti o delle indicazioni sul come modificare le ipotesi economiche di partenza, che quindi sono soggette ad essere nuovamente dettagliate ed analizzate con la metodologia fornita dalla statistica, oppure, ancora, data una formulazione teorica di partenza, avviene frequentemente che l’uso del procedimento econometrico per convalidarla o per confrontarla con altre ipotesi non tanto conduca ad una sua conferma o negazione ma piuttosto possa suggerire, in virtù dei ritrovati empirici, modificazioni o ampliamenti di carattere teorico che naturalmente soltanto il ricercatore con adeguata preparazione economica può sfruttare integralmente. La conseguenza di queste argomentazioni è che si sviluppa un’analisi econometrica composta da fasi di speculazione economica teorica e da fasi di indagine empirica non separabili bensì fortemente integrate tra di loro.³

Dunque non è sufficiente l’uso dei dati osservati, come ad esempio l’asserito da Spanos² (1986, p.3), a distinguere l’econometria dalle altre forme di studio dei fenomeni economici. L’analisi descrittiva di questi può esser effettuata all’interno di una speculazione economica ma non è condizione sufficiente a farla denominare econometrica.

Non ha ragion d’essere, quindi, la vetusta idea secondo la quale la disamina econometrica³ è soltanto strumentale rispetto a quella economica.

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Modulo I – Concetti di base

2.2 I modelli e le loro caratteristiche

Modelli statici e dinamici

Le relazioni (2.1.1) e (2.1.4) tra le variabili ed costituiscono dei modelli c y rappresentativi di ipotesi economiche, e le disuguaglianze (2.1.2) cui sono soggetti α β loro parametri e ne costituiscono parte integrante. Questi modelli sono rappresentazioni formali ed idealizzate delle caratteristiche osservate di regolarità e stabilità dei fenomeni economici sotto studio e vengono specificati in base al processo interattivo di speculazione teorica ed indagine empirica descritto nel paragrafo precedente. Tali caratteristiche sono anche chiamate fatti stilizzati⁴ (si veda più avanti la figura 2.1).

I modelli (2.1.1) ed (2.1.4) sono detti poiché vi intervengono solo variabili statici cioè sono associate allo stesso tempo ; i modelli (2.1.5) (2.1.6) (2.1.7) e correnti, t (2.1.12) sono detti in quanto contengono variabili sia correnti che dinamici di una o più unità temporali. ritardate

Poiché i fenomeni economici evolvono nel tempo, i modelli dinamici hanno una rilevanza ben più grande degli statici, ma occorre tener presente che questi ultimi possono sovente essere considerati come rappresentativi dei sentieri di equilibrio di lungo periodo dei modelli dinamici. Consideriamo ad esempio la relazione dinamica lungo periodo (2.1.12), che lega l’andamento del consumo a quello del reddito. Se si suppone, per semplicità, che il reddito segua un sentiero costante (2.2.1) y = y t allora anche il consumo tenderà a seguire una traiettoria costante . Sostituendo, c la (2.1.12) diventa α′ β + (2.2.2) c = y − ρ − ρ 1 1 che è analogo al modello statico (2.1.1); quest’ultimo, dunque, può essere visto come la relazione di equilibrio di lungo periodo tra il consumo ed il reddito nel caso in cui il modello di breve periodo sia quello dinamico (2.1.12) ed il comportamento di lungo periodo del consumo sia definito dalla (2.2.1).

Osservazione 2.4 - Nella (2.1.12) il parametro β, che misura l’effetto immediato di un incremento del reddito sul consumo, può essere considerato come la propensione marginale al consumo di breve periodo.

Il concetto moderno di modello può essere fatto risalire i lavori di R. Frisch [1935-36] e J.⁴ Tinbergen [1939].

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β/(1-ρ) mentre ricaviamo dalla (2.2.2) che quella di lungo periodo vale . Dato che la propensione di breve è minore di quella di lungo 0≤ρ<1 ρ = periodo. Ovviamente, se , cioè se la (2.1.12) diventa un modello 0 statico, le due propensioni sono uguali.

Il breve e il lungo periodo

La differenziazione tra il breve e il lungo periodo assume importanza basilare non soltanto quando si tratta la teoria economica ma anche quando si costruisce un modello. Si ebbe un esempio di questo concetto quando fu osservato che negli anni compresi tra le due guerre mondiali negli U