Disegna una semicirconferenza di diametro AB che misura 2r. Sia M un punto della semicirconferenza, indica con H il piede della perpendicolare condotta per M ad AB. Determina la posizione di M in modo che si abbia...

Verifica classe II liceo scientifico: equazioni, disequazioni, problemi di 2° grado

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Problema

• Disegna una semicirconferenza di diametro AB che misura 2r. Sia M un punto della semicirconferenza, indica con H il piede della perpendicolare condotta per M ad AB. Determina la posizione di M in modo che si abbia BM = 2 · AH. Poni AH = x e determina il valore di x.

Se M fosse situato nella metà destra della semicirconferenza, AH sarebbe maggiore del raggio.

Di conseguenza, BM = 2 · AH, che vale 2 · AH, sarebbe più grande del raggio e più grande di AH. Dalla figura a fianco si può notare che ciò non è possibile; quindi M sarà situato per forza nella parte sinistra della semicirconferenza.

Per trovare il valore di x sfruttiamo le proprietà dei triangoli rettangoli, ai quali applicheremo il teorema di Euclide.

Prendiamo in considerazione il triangolo AMB, rettangolo poiché inscritto in una semicirconferenza. Di esso conosciamo l’ipotenusa, che coincide con il diametro e quindi vale 2r; il lato MB, che per ipotesi vale 2 · AH, cioè 2 · x. Possiamo quindi trovare la misura di HB sfruttando il primo teorema di Euclide:

AB : MB = MB : HB

HB = MB² : AB = (2x)² : 2r = 4x² : 2r = 2x² : r

Sapendo ora che il diametro vale 2r e che esso è dato dalla somma di HB e AH.