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Problemi di geometria con le equazioni di secondo grado

Il testo del problema...

È nota la somma dei diametri AB di due semicirchi e anche quella delle loro aree.

Determinare la misura di ciascun diametro. AO? OB?

A            A1            O        A2        B

Dati:

AB = 10 cm

A1 + A2 = 13/2

Incognite:

AO?

OB?

Svolgimento:

Indichiamo con x il diametro AO.

AO = x

La somma dei diametri vale 10 cm, cioè AO + OB = 10 cm, quindi il secondo diametro vale:

OB = 10 cm − x

La somma delle aree vale:

A1 + A2 = 13/2

Calcoliamo le due aree:

A1 = 1/2 r12 = 1/2 (x/2)2 = x2/8

A2 = 1/2 r22 = 1/2 ((10 − x)/2)2 = (10 − x)2/8

Sommiano le due aree:

x2/8 + (10 − x)2/8 = 13/2

Ed ora risolviamo.

Dividiamo i due membri per la costante e moltiplichiamo per 8:

8 x2/8 + 8 (10 − x)2/8 = 8 · 13/2

Con le dovute semplificazioni otteniamo:

x2 + (10 − x)2 = 4 · 13

Sviluppiamo il quadrato di binomio:

x2 + 100 − 20x + x2 = 52

2x2 − 20x + 48 = 0

Dividiamo per 2 riducendo i coefficienti:

x2 - 10x + 24 = 0

Ed ora risolviamo la nostra equazione:

a = 1

b = -10

b/2 = -5

c = 24

/4 = 2 - ac = 25 - 24 = 1

x1,2 = (- ± )/a = 5 ± 1 = {

x1 = 5 + 1 = 6 cm

x2 = 5 - 1 = 4 cm

La soluzione al problema è:

AO = 6 cm

OB = 4 cm

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Sintesi

Misura di diametri con equazione di secondo grado

Ancora un esempio di come utilizzare le equazioni di secondo grado per risolvere un problema semplice di geometria piana. La difficoltà di questo tipo di problema è sostanzialmente quella di trasformare in scritture algebriche le informazioni fornite nel testo del problema. A volte lo studente non sa da che parte cominciare.

Lettura del testo

Iniziamo con la lettura del testo.

"È data la somma AB dei diametri di due semicerchi e anche quella delle loro aree. Si chiede di calcolare la misura della lunghezza di ciascun diametro."

Come sempre è utile fare un disegno che ci aiuta a capire meglio quali sono gli elementi di cui si parla nel testo.

La somma dei diametri

Cosa sappiamo? La somma delle lunghezze dei due diametri, questa vale 10 cm!! Scriviamolo:

[math]\overline{AO}+\overline{OB}=10[/math]

Introduciamo la nostra incognita, indichiamo il primo diametro il maggiore, con

[math]x[/math]
. Il secondo è pari alla somma meno il primo!!

[math]\overline{OB}=10-\overline{AO}[/math]

E allora possiamo scrivere anche il secondo diametro in funzione di

[math]x[/math]
:

[math]\overline{OB}=10-x[/math]
.

La somma delle aree

Passiamo ora alla seconda informazione, quella sulla somma delle aree. Questa vale

[math]\pi \frac{13}{2}[/math]
.

Calcoliamo allora l'area dei semicerchi.

[math]A_1=\frac{1}{2}πr_1^2[/math]
[math]A_2=\frac{1}{2}πr_2^2[/math]

Sappiamo che il raggio è metà diametro, quindi:

[math]r_1=\frac{x}{2}[/math]
[math]r_2=\frac{(10-x)^2}{2}[/math]

Riscriviamo allora la somma delle due aree:

[math]A_1+A_2=\pi\frac{13}{2}[/math]

Sostituendo l'espressione dei due raggi otteniamo:

[math]\frac{πx^2}{8}+\frac{π(10-x)^2}{8}=\frac{13}{2} π[/math]

L'equazione di secondo grado

Ecco la nostra equazione di secondo grado, che porteremo nella forma canonica:

[math]x^2-10x+24=0[/math]

Una volta risolta ci fornisce come risultato:

[math]x_1=6cm [/math]

[math]x_2=4cm[/math]

Avendo indicato con x il maggiore, abbiamo allora:

AO= 6cm

OB=10-6=4cm

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