Geometrie e modelli

Insieme (I)

Carattere primitivo.

• Unione A ∪ B := {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B := {x ∈ A e x ∈ B}

Relazione di equivalenza

Diciamo che la relazione p su I × I è di equivalenza se è contemporaneamente riflessiva, simmetrica, transitiva.

Riflessiva

Dato ogni elemento a appartenente all'insieme I, ha la statura di sé stesso.

Simmetrica

Se a e b appartengono all'insieme I, è chiaro che se a ha la stessa statura di b, anche b ha la stessa statura di a.

Transitiva

Dato che se a, b, c appartengono all'insieme I, è chiaro che se a ha la stessa statura di b e b ha la stessa statura di c, a avrà la stessa statura di c.

a, b ∈ I

a p b ("a è associato a b mediante p")

a ∽ b ("a equivalente b")

Con a, b equivalenti.

• Riflessiva ∀a ∈ I, a p a (a ∈ I)
• Simmetrica ∀a, b ∈ I, a p b ⟹ b p a
• Transitiva ∀a, b, c ∈ I, a p b e b p c ⟹ a p c

La relazione di equivalenza è importantissima perché riusciamo ad individuarla su un insieme, l'insieme stesso viene suddiviso in sottoinsiemi (o classi) tali che formano una partizione dell'insieme di partenza, cioè gli elementi di un nuovo insieme, l'insieme quoziente.

Per individuare un elemento dell'insieme quoziente basta considerarne un singolo componente.

Relazione di ordinamento

Se su un insieme è possibile individuare una relazione di ordinamento, allora è possibile ordinare l'insieme stesso e l'insieme viene detto ordinato. Due suoi elementi sono confrontabili, nel senso che c'è più di alte chi sta "prima".

Teorema

Dato un insieme A e data una relazione di equivalenza p su A, allora p induce una partizione in classi disgiunte.

Insieme (I)

Carattere primitivo.

• Unione A ∪ B := {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B := {x ∈ A e x ∈ B}

Relazione di equivalenza

Diciamo che la relazione ρ su I × I è di equivalenza se è contemporaneamente riflessiva, simmetrica, transitiva.

Riflessiva

Dato ogni elemento a appartenente all'insieme I, ha la struttura di se stesso.

Simmetrica

Se a e b appartengono all'insieme I, è chiaro che se a ha la stessa struttura di b, anche b ha la stessa struttura di a.

Transitiva

Dato che se a, b, c appartengono all'insieme I, è chiaro che se a ha la stessa struttura di b e b ha la stessa struttura di c, allora ha la stessa struttura di c.

a, b ∈ I

a ρ b ("a è associato a b mediante ρ")

a ∼ b ("a equivalente b")

Con a, b equivalenti.

• Riflessiva ∀a ∈ I, a ρ a (a e ρ è relazione con se stesso)
• Simmetrica ∀a, b ∈ I, a ρ b ⟹ b ρ a
• Transitiva ∀a, b, c ∈ I, a ρ b e b ρ c ⟹ a ρ c

La relazione di equivalenza è importantissima perché riusciamo ad individuarla su un insieme, l'insieme stesso viene suddiviso in sottoinsiemi (o classi) tali che formano una partizione dell'insieme di partenza, cioè gli elementi di un nuovo insieme, l'”insieme quoziente”.

Per individuare un elemento dell'insieme quoziente basta considerare un singolo componente.

Relazione di ordinamento

Se su un insieme è possibile individuare una relazione di ordinamento, allora è possibile ordinare l'insieme stesso e l'insieme viene detto ordinato. Due suoi elementi sono confrontabili; nel senso che uno è più "alto" chi era prima.

Teorema

Dato un insieme A, e data una relazione di equivalenza ρ su A, allora ρ induce una partizione in classi disgiunte.

Partizione

La partizione dell'insieme E si ha quando il ricoprimento finito è formato da insiemi senza elementi comuni.

Quindi diciamo che un insieme finito di sottoinsiemi non vuoti dell'insieme E è una partizione dell'insieme E se ogni elemento di E appartiene ad uno ed uno solo dei sottoinsiemi.

Def. Si opera una partizione dell'insieme E nelle classi (o sottoinsiemi) C1, C2, C3... Cn, se tali classi godono delle seguenti proprietà:

• Nessuna classe è vuota: Ci ≠ ∅
• Tutte le classi sono disgiunte tra loro: Ci ∩ Cj = ∅
• L'unione di tali classi restituisce l'insieme E: ∪_i=1ⁿ Ci = E

Spazio quoziente

Def. Dato un insieme A e data una relazione di equivalenza P, si definisce spazio quoziente A/P l'insieme delle classi di equivalenza di P.

A/P = { un rappresentante da ciascuna classe }

In R² (piano con struttura cartesiana)

Dato V, P ∼ a ⇒ a = p + n ∙ V per un qualunque valore n ∈ Z.

Esempi di superfici costruite come quozienti

S superficie.

R ⊂ R², R regione piana in cui è data una relaz. di eq.

R ⟶ S applicazione quoziente che induce un omeomorfismo R/n ⟷ S.

d = √(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²

Cilindro (traslazione)

Il cilindro C = S¹(0,1) nello sp. R³ = IR²IR è l'immagine della striscia R = [0,2π](0,1) in IR² mediante l'applicazione (u,v) → (cos u, sin u, v).

Spazio quoziente: (0,v) ~ (2π,v), R/∼ ↔ C.

p(x,y) ∼ p'(x',y') passo a se { x' = x + ka, k ∈ Z, y' = y, cioè trasliamo in una sola direzione.

2. Nastro di Möbius (glissoriflessione)

Si ottiene da una striscia in cui due lati opposti vengono identificati dopo una torsione.

Semipiano (specchio).

p(x,y) ∼ p'(x',y') se { x = x', y = -y' }

3. La sfera

La sfera S² si può vedere come quoziente del disco D².

Se { x' = na, n ∈ Z, a ∈ R, y' = (-1)ⁿy ⇄ torna sopra/sotto }

4. Il toro

Nello sp. R³ la superficie descritta da una circonferenza B nel piano x,y nella rotazione intorno all'asse Z è chiamata toro. È unione di circonferenze: per ogni punto di individuato da un valore dell'angolo ∪ una circonferenza orizzontale U, una circonferenza orizzontale Au con centro sull'asse Z.

Se { x = x' + ka, y = y' + hb, a,b passi ∈ Z }

Spazio metrico

Nel piano R² nello sp. R³ la distanza tra due punti è la lunghezza del vettore differenza di questi due punti.

Uno spazio metrico è un insieme I fornito di una distanza (= metrica) { I, d } dove d : I × I → R.

(a, b) → d(a, b)

Che verifica le seguenti tre condizioni (per ogni coppia di pnt):

• I) d(a, b) = d(b, a)   ∀ a, b ∈ I
• II) d(a, b) > 0   ∀ a, b ∈ I
• III) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)   ∀ a, b, c ∈ I

Def. d(P, Q)_def = min d(p_i, q_i) dove p_i ∈ P, q_i ∈ Q.

Geodetiche

Def. Chiamiamo geodetica (o retta) di una geometria, la curva che "realizza" le distanze.

Isometrie

O movimenti rigidi nel piano

Trasformazione del piano che, data una coppia di punti, mantiene inalterata la loro distanza: cioè, la coppia di punti trasformata (P', Q') ha la stessa distanza di P, Q.

Diciamo che una figura è simmetrica se possiamo applicare alla figura movimenti rigidi che lasciano la figura inalterata.

In R² le isometrie sono:

• Traslazione
• Specchio
• Rotazione
• Glissoriflessione

L'insieme delle isometrie che agiscono su un piano euclideo è un gruppo non commutativo (*).

Gruppi

Un gruppo è una coppia G = (I, *) in cui si rispettano le seguenti proprietà:

• Proprietà di chiusura: ∀ a, b ∈ I, a*b ∈ I, appartiene anch'esso ad I.
• Proprietà associativa: ∀ a, b, c ∈ I, a*(b*c) = (a*b)*c.
• Esistenza dell'elemento neutro: ∃ 1 ∈ I un u t.c. a*u = u*a = a ∀ a ∈ I.
• Esistenza dell'inverso: ∀ a ∈ I, ∃ ā ∈ I t.c. a*ā = ā*a = u.

Gruppi di simmetrie

Di una figura è un insieme formato da tutti quei movimenti che la lasciano invariata. Questo insieme viene detto gruppo perché soddisfa determinate proprietà algebriche di composizione.

Composizione di trasformazioni consiste nell'applicare un movimento rigido → si ottiene sempre un movimento rigido.

Operazione non commutativa.

2 traslazioni → toro.

Glissoriflessione + trasl. → bottiglia di Klein.

Gruppi di tassellazione

Si chiama tassellazione del piano una modalità di ricoprire il piano con una o più figure geometriche, senza sovrapposizioni.

In particolare, nel gruppo di simmetria di una tassellazione sono presenti due traslazioni rispetto a due vettori linearmente indipendenti.

I gruppi di tassellazione sono 17.

Le rotazioni compatibili con una tassellazione del piano sono 60° (²/₆π), 90° (²/₄π), 120° (²/₃π), 180° (π) e "restrizione cristallografica".

Gruppi di fregio

Il termine "fregio" indica una striscia di piano che è ricoperta dalle copie ripetute di un motivo base. Le copie sono ottenute mediante delle isometrie, una delle quali è necessariamente una traslazione nella direzione della striscia.

Si tratta di una figura illimitata.

Vi sono 7 possibili gruppi di simmetria:

• → → → (traslazione)
• ↳ ↳ ↳ (glissoriflessione)
• ↕ ↕ ↕ (riflessione vert.)
• ↔ ↔ ↔ (riflessione orizz.)
• ↨ ↨ ↨ (rotaz. di π)
• ↖ ↖ ↖ (rotaz. π + riflessione vert.)
• ↔ ↔ ↔ (rotaz. π + riflessione orizz.)

Il motivo grafico che viene ripetuto di volta in volta occupa una regione limitata. La minima regione che occorre a generare tutto l'arabesco sotto l'azione di movimenti, del piano matematicamente strutturati in gruppi, viene detta dominio fondamentale. Ogni gruppo è caratterizzato dal suo dominio fondamentale.

Geometrie localmente euclidee

Cilindro visto come SP. QUIOZIENTE di:

TRASLAZIONE, ROTAZIONE, SPECCHIO, GLISSORIFLESSIONE.

Cilindro = R₂/n trasl.; cono = R₂/n, rotaz. π/2; semipiano = R²/N specchio; nastro di Möbius = R₂/n glissorifl.

Sfera

Su una sfera di raggio r si possono tracciare delle circonferenze che si ottengono in qualsiasi direzione la taglio.

Rapporto r - C ≤ Euclideo.

Infatti: c = 2πr < 2πρ (Cp = raggio rettilineo).

Quando, tagliando la sfera, otteniamo una circonferenza il cui raggio è pari al raggio della sfera, diciamo che la sezione è un cerchio massimo e sulla superficie sferica viene individuata una circonferenza massima.

Il cerchio max coincide con il centro della sfera, quindi meridiano ed equatore sono cerchi max rispetto alla terra.

Come i segmenti su un piano, il piú breve percorso tra due punti sulla superficie di una sfera è un arco di cerchio massimo (geodetica).

Poligono sferico

Area della sfera delimitata da archi di cerchio massimo. I lati di un poligono sferico sono sono identificati per la loro lunghezza lineare, ma tramite l'angolo sotteso da essi rispetto al centro della sfera.

La lunghezza dell'arco è data dall'angolo al centro, in radianti, moltiplicato per il raggio della sfera.

Triangolo sferico

Poligono sferico sotteso da tre archi di cerchio max.

Nello specifico, dato che tre cerchi max sulla superficie sferica delimitano due regioni, chiamiamo triangolo sferico quella delle due che ha area minore.

Di conseguenza l'area del triangolo sferico ha sempre una superficie minore di quella di una semisfera.

Inoltre bisogna fare l'osservazioni:

• Il teorema euclideo sulla Σ degli angoli int. triangolo cade.
• La Σ angoli interni varia al variare del triangolo (per triangoli euclidei è costante).

Teorema

Assumendo una sfera unitaria e la misura degli angoli in radianti, la somma degli angoli di un triangolo sferico è sempre maggiore di un angolo piatto ed è uguale ad un angolo piatto più l'area del triangolo.

 + ˆB + ĉ > π

 + ˆB + ĉ = π + Area Triangolo_r²

Eccesso sferico

Dimostriamo che  + ˆB + ĉ - π > 0.

α + β + γ - π > 0.

Estendiamo i lati ÂB, ˆC, ĉB del triangolo agli interi cerchi. Tali cerchi si incontreranno a due a due nei punti A’, B’, C’ rispettivamente antipodali a A, B, C.

Misuriamo l'area dei settori di sfera Σ_A, Σ_B, Σ_C limitati ciascuno da questi cerchi di raggio max.

L'area di ciascuno di questi settori è proporzionale alla superficie oh Σ nello stesso modo in cui gli angoli in A e A’ sono proporzionali all'angolo giro 2π.

La superficie della sfera è 4πr², pertanto:

^Σ_A/_4πr² = ^2Â/_2π

Σ_A = 4r²Â

Da cui analogamente: Σ_B = 4r² ˆB e Σ_C = 4r² ĉ.

Sommiamo l'area dei tre settori, otteniamo l'intera superficie sferica, contando due volte i triangoli antipodali.

Σ_A + Σ_B + Σ_C = ^{4πr2Âĉ + 2Â ˆBĉ1 = 4πr2(Â + ˆB + ĉ) = 4πr2Ș + Â ˆBĉ1}

 + ˆB + ĉ - π = ^Âĉ/_r² > 0.

Origini sferiche

Ogni punto sulla sfera è completamente determinato da due coordinate, dette coordinate angolari, definiti come gli angoli θ rotazione attorno all'asse e φ angolo sulla semicir.

φ = angolo che si forma tra l'asse attorno cui ruota la semicirconf. (es. asse z) ed il raggio che identifica il punto sulla sfera.

θ = angolo che si forma tra la proiezione del punto sul piano perpendicolare all'asse di rotazione (es. piano xy) e uno dei due assi di questo piano (es. x).

Modello matematico di sfera:

S(o,r) = { (x,y,z) ∈ R³: x²+y²+z²=r² }

x = r sinφcosθ

y = r sinφsinθ

z = rcosφ

Dominio di variabilità:

0 ≤ φ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2π

Parallelo: φ(t) costante.

θ(t) = t ∈ [0,2π]

Meridiano: θ(t) costante.

φ(t) = t ∈ [0,π]

Data una sfera S di raggio r. Il raggio r' di una circonferenza C parallela all'equatore è dato dai:

r' = r sin θ

Teorema

Sia C una circonferenza di raggio r' su Σ. Allora C < 2πr.

Dimostrazione

Anche sulla sfera, la circonferenza è il luogo dei punti equid.

Questa circonferenza delimita un cono di vertice O e apertura ψ con base piana il cerchio di cui vogliamo calcolare la circonferenza. Il raggio è r' = r sin ψ.

Dunque si ha:

C = 2πr' = r sin ψ 2πr' = r ψ (per def. di radiante).

C = 2πr sin ψ < 2πrψ = 2πr.

V postulato di Euclide:

∀r, ∀p ∈ r, ∃1 τp ∩ rτ, l//r → esiste una e una sola parallela.

Quadrilatero di Saccheri

Sulla sfera è perennemente più corto.

Saccheri ci conferma che la geometria sferica non è euclidea (inoltre segmenti paralleli si incontrano → non succede nella geom. euclidea).

Quadrilatero sferico

α + β + γ + δ = ΔQ/R²

Dim.: α → α', ε → ε'

δ → δ', ε → ε'

T₁ = α₁ + β + δ₁ = π + ΔT₁/R²

T₂ = α₂ + ε + δ₂ = π + ΔkT_ε/ε²

(α₁ + α₂) + β + γ + (δ₁ + δ₂) = 2π + (ΔT₁ + ΔT₂)/R²

Geometria piana

(O di Euclide)

• Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela ad essa.
• Le rette parallele sono equidistanti.
• Un punto P su una retta divide questa in due parti.
• Somma angoli interni tri angolo 180°.
• Due triangoli con angoli omologhi sono congruenti.
• Le rette hanno lunghezza infinita.

Geometria iperbolica

• Non passa più di una retta.
• Non sono equidistanti.
• Divide in due parti.
• Minore di 180°.
• Sono congruenti.
• Lunghezza infinita.

Geometria ellittica

• Non passa nessuna retta.
• Si incontrano in punti opposti.
• Divide in due parti.
• Maggiore di 180°.
• Sono congruenti.
• Lunghezza finita.

La curva è uno degli elementi che contraddistinguono una curv.

Nel caso di una superficie avremo una curvatura.

Curvatura di S in P:

k = k₁ + k₂ (curvatura aritmetica).

Teorema

In ogni superficie minima (che minimizza le forze in gioco), la superficie aritmetica è nulla.

k₁ + k₂ = 0

∀P (sup. minima con bordo k₁ + k₂ < 0).

Solidi

Def. Un solido è "semplice" se è deformabile con continuità in una sfera.

Poliedro semplice.

V - S + F = 2.

Dimostrazione

Dato un poliedro:

• Tolgo una faccia e spalmo la superficie su un piano.
• Triangolo tutte le facce (aggiungo una faccia e un vertice).
• Cancello triangoli con due segmenti verso l’esterno.
• Cancello triangolo con solo segmento verso esterno.
• Rimango con un triangolo.

v = 3

s = 3

3 - 3 + 1 = 1 + faccia tolta.

3 - 3 - 1 + (4-1) = 2.