1990 - Problema 2 sessione straordinaria

L.Lecci\ottobre-2004 Maturità scientifica

Sessione suppletiva 1990

Quesito n. 2

AB 2

Data la semicirconferenza di diametro, con centro O e raggio OT perpendicolare ad AB, da un generico punto H di AB tracciare la perpendicolare ad AB fino ad intersecare la semicirconferenza in P e da P il segmento PK, con K appartenente al segmento OT tale che

(1)

OPH

KPO

l’angolo sia uguale all’angolo.

Indicata con x la misura del segmento OH, determinare la lunghezza y del segmento OK in funzione di x. Studiare l’andamento della funzione y=f(x).

Soluzione

Facciamo riferimento alla Fig.1 nella quale è stato scelto il punto H sul raggio OH; se si sceglie il punto H sul raggio OB si ottiene una figura simmetrica rispetto alla retta OT e la discussione del problema è identica a quella che esporremo per la figura indicata.

Dalle indicazioni fornite dal testo del problema, con

HP 1 x

= −

OH x 0 x 1

= ≤ ≤ 2

si ricava e. Inoltre,

OPH

KPO

dall’ipotesi che i due angoli, sono uguali ed

KOP OPH

=

osservato che in quanto coppia di angoli alterni interni formati dalle parallele HP, OT tagliate dalla

KOP KPO

=

trasversale OP, segue l’uguaglianza per cui il triangolo OKP è isoscele su OB.

Sia M il piede dell’altezza relativa alla base OP nel triangolo OKP ed osserviamo che M è punto

OM

=

1

medio di OP, quindi ed inoltre i due triangoli OKM, OHP sono simili perché entrambi

2

KOM OPH

=

rettangoli ed hanno gli angoli.

Si noti che il triangolo OKP è isoscele sulla base OP.

Per ricavare la misura del segmento OK basta impostare la seguente proporzione

OP OM 1

⇒

= = =

OK : OP OM : HP OK.

HP − 2

2 1 x

Discussione dei casi limite

Nella nota a piè di pagina si chiarisce che il punto K non rimane sul raggio OT al variare del punto H sul raggio OA. Si può osservare infatti la Fig.2 che rappresenta un altro caso rispetto alla Fig.1. Si nota che il punto K è esterno alla semicirconferenza assegnata.

In effetti se il punto H tende al

OPH

punto A l’angolo tende a 90° perché detto angolo appartiene al triangolo rettangolo OHP che ha comunque l’angolo retto in H. Ebbene, poiché per qualunque posizione