Serie: Calcolaresum_{n=1}^(+infty)(log((n^e/(n+1))^(n)n^e)/(e(n^2+n)e^n)).Dedurre che la serie data non è

Calcolare !

n

e

n e

n

log n+1

+∞

X .

2 n

e(n + n)e

n=1

Dedurre che la serie data non è a termini positivi.

Semplifichiamo il termine generale; si ha

soluzione. !

n

e

n e

log n

n+1 n(e log n − log(n + 1)) + e log n

= =

2 n n

e(n + n)e ne(n + 1)e

e(n + 1) log n − log(n + 1) =

= n

ne(n + 1)e

log(n + 1)

log n −

= n n+1

ne (n + 1)e

da cui !

n

e

n e

log n

n+1

k log(k + 1)

X

S(k) = = − .

2 n k+1

e(n + n)e (k + 1)e

n=1

Per definizione !

n

e

n e

n

log n+1

+∞

X =

2 n

e(n + n)e

n=1 log(k + 1)

= lim S(k) = − lim =0

k+1

(k + 1)e

k→+∞ k→+∞

per cui la serie data converge, e la sua somma è 0. Evidentemente i suoi termini non possono

essere tutti positivi, altrimenti la somma sarebbe strettamente positiva.