→ x2+3 log sen x ∼ 1⁄x2- ( -x2⁄6 ) - 1⁄6→ 1⁄x log ( sen⁄x) ⊵ 1⁄6→ lim ( sen x⁄x ) = e1⁄6oss ( x0)limx > 0 sen x⁄x2- ( -1⁄2)
Derivatei
p: f: I → R x0 ∈ I I intervallo. f e deviata in x0 ⇔ 1) limx → x0 R f( x , x0) = limx → x0 f(x)-f(x0)⁄x-x0] ∈ R oppure7) l e ∈ R: f(x) - f(x0) + l( x-x0) + o(x-x0) x → x0
oss: scriviamo Rf (x , x0)x ≠ x0 nel seguente modo: poniamo h = x - x0 cioè x = h + x0⇒ Rf (x0 + h, x0) = f( x0 + h ) - f( x0)⁄h⇒ 1⁄x2+x3 logsenx⁄x ∼ 1⁄x2 - (-x2)⁄6 - 1⁄6 1⁄x2+x3 log senx⁄x ➟ e1⁄6 x→0 RS limes esenx⁄x2 o xx - 1⁄2 o x → x0
Derivate
p: I → IR x0 ∈ I I intervallof è derivata in x0 ↔
limes Rf(x,x0) = limes f(x) - f(x0)⁄x-x0 ∈ IR 3 l ∈ IR: f(x) - f(x0) + l(x-x0) + o(x-x0)
Oss: Scriviamo Rf(x,x0) x ≠ x0 nel seguente modo: poniamo h=x-x0 cioè x=h+x0⇒ Rf(x0+h,x0) = f(x0 + h) - f(x0)⁄h
Derivata delle funzioni elementari
1) Funzione esponenziale
f(x) = ex f: ℝ → ℝ ∃ f'(x)x0∈ℝ
Considero R(f(x0+h), x0) = f(x0+h) - f(x0) / h = ex0(eh - 1)/hh → 0 (eh - 1)/h → 1ex = f'(x)f'(x) = ex ∀ x ∈ ℝf(x) = ex
2) Funzione seno
f(x) = sen x f: ℝ → ℝ ∃ f'(x)
f(x0+h) - f(x0) / h = sen(x0+h) - sen x0 / h = sen x0 cos h + sen h cos x0 - sen x0sen x0 h (cos h -1) / h → 0sen h cos x0 → 1h → 0 cos x0f'(x) = cos x
3) Funzione coseno
f(x) = cos xf'(x) = -sen x ∀ x ∈ ℝ
Polinomi
f (costante) = 0∀ x ∈ ℝf (x) = xRt (f (x), x0) = f (x)
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