Derivate (Parte 1): teoria ed esercizi

Limiti, rapporto incrementale e definizione di derivata

lim_x→0 log^(1+x)x / x²log^(1+x) − x + o(x) − x / x² = o(1)^x − x / x² = (o(1) / x) . 1 / x = ? non lo so fare(seu) x + o(x)

Definizione di derivata e di funzione derivabile

Sia I intervallo ed f: I → ℝ

Siano x, x₀ ∈ I, x ≠ x₀.

Definiamo rapporto incrementale il seguente numero:

R(f(x − x₀)) = (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀)

Rapporto incrementale

R(f(x − x₀)) = (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀)

R(f(x − x₀)) = (f(x₀) − f(x₀)) / (x₀ − x₀)

Significato geometrico di R(f(x − x₀))

es: lim_x→0 log(1+x)^{xx -}log(1+x)^x - x + o(x) - x = o(1) o(1) ------------------------------------- x² x X_lim^x→0 1 = 0 ( ) ∫ sen x = x + o(x), x → 0, y = x

Definizione di derivata e di funzione derivabile

Sia I intervallo ed f: I → R.

Siano x, x₀ ∈ I, x ≠ x₀.

Definiamo rapporto incrementale il seguente numero:

f(x) - f(x₀) ---------------------------------- x - x₀ ∧ Rf(x - x₀) = Rf(x - x₀)

Significato geometrico di Rf(x - x₀)

f(x₀) f(x₂)

Rapporto incline m. Rf(x - x₀) = ^{f(x) - f(x₀)} ---------------------------------- Apparently non-interpreted typography. x - x₀

Rf(x₀ - x) = ^{f(x₀) - f(x)} x₀ - x

f(x1) ≠ f(x₀)

Equazione della retta passante per

(x₁, y₁) e (x₀, f(x₀))

(y - f(x₀)) / (f(x₁) - f(x₀)) = (x - x₀) / (x₁ - x₀)

y - f(x₀) = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) · (x - x₀)

y = f(x₀) + (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) · (x - x₀)

Coefficiente angolare della retta

Rapporto incrementale

Definizione

f: I → R, I intervallo, x₀ ∈ I.

∀ x ∈ I {x₀, y} consideriamo R f(x, x₀) = (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

Diciamo che f è derivabile in x₀ se: ∃ lim_x→x0 R f(x - x₀) ∈ R (deve essere un numero reale)

E chiamiamo derivata di f in x₀ il lim_x→x0 R f(x, x₀) e la indichiamo con f'(x₀) (Df(x₀), d⁄dx (x₀))

Teorema (definizione equiv. di derivata)

f : I → ℝ, I intervallo, x₀ ∈ I. Le seguenti proposte sono equiv.:

• F è derivabile in x₀
• F ∈ C¹(I;R): f(x) = f(x₀) + l(x - x₀) + o(x - x₀)_x→x₀

Se 1) e 2) sono vere allora l = f'(x₀)

Dimostrazione 1) → 2)

(❪a sapere❫)

Per ipotesi: ^lim_x→x₀ ℜ [f(x) x₀ ] - f(x₀) ^lim_x→x₀ ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x₀} = f'(x₀)

→ ^lim_x→x₀ (^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x₀} - f'(x₀)) = 0

→ ^lim_x→x₀ (^{f(x) - f(x₀)} - f'(x₀)(x - x₀)) = 0(x - x₀)

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀) = 2) con l = f'(x₀)

Dimostrazione 2) → 1)

Per ipotesi: f(x) = f(x₀) + l (x - x₀) + o1(x - x₀) per x → x₀

→ ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x₀} = ^{f(x₀) + l (x - x₀) + o1(x - x₀) - f(x₀)}/_{x - x₀}

= (^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x₀}) + ^{o(x - x₀)}/_{x - x₀}

→ ^lim_x→x₀ = l ^lim_x→x₀ ℜ [f(x) x₀ ] = l = f' (x₀)

Osservazione: significato geometrico di f derivabile in x₀

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀) + o1(x - x₀) per x → x₀

f(x) + f'(x) (x - x₀) - 0(x - x₀) per x → x₀

Funzione lineare = retta

Considero la retta y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Passante per (x₀, f(x₀)) no! f(x) - f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) ^no

Sì

1) limx→0+ x3 - 1 - x·log x - x3·log x2/x·log2x = 0

inid. Limite noto: lim_x→0⁺ x^x·log²x = 0, ∀x>0, ∀k∈IR

lim_x→0⁺ x^x - lim_x→0⁺ e^{x·log x} = 1

N: = x³ - 1 - x·log x - x³·log³x

log(1+x) = x - x²/2

Per x → 0

N = x³ + o(x·log x)

N/D = ^{- x3log3x + o(x·log3x)}/_x·log²x

N: x³·log x³ ?

o(x·log x)/x·log²x = 0

log(1+x) = x²log²x → 0