Derivate

Introduzione

y = f(x): m (x - x₀) Equazione generica per trovare una retta m = ?

m = lim Δy/Δx

x₀ + h; x₀

f(x₀ + h) - f(x₀)

m_{x → 0} = ½ {f(x₀ + h) - f(x₀)}/h

Rapporto incrementale

m = lim f(x₀ + h) - f(x₀)  → 0 h

Se questo lim esiste ed è finito la funzione g = f(x) si dice derivabile nel punto x₀, e il valore che il lim assumerà sarà il coefficiente di direzione di f in x₀.

Funzione costante

f(x) = k

f'(x): lim = f(x₀ + h) - f(x₀)  → 0 h    k - k / h = 0

Funzione potenza

f(x) = xⁿ → f'(x) = mx^n-1

f'(x): √x = (x)^1₂ → ½ (x)^−½ = ½(x)^3/2 = ½ √x

Derivate

f(x): sin(x) → f'(x) = cos(x)

f(x): cos(x) → f'(x) = -sin(x)

f(x): e^x → f'(x) = e^x

f(x): a^x → f'(x) = a^x ln a

f(x): ln(x) → f'(x) = − 1/x

Derivata della somma e del prodotto di due o più funzioni

Derivata della somma: se p(x) e q(x) sono due funzioni e f(x) = p(x) + q(x), allora f'(x) = p'(x) + q'(x)

Derivata del prodotto: f(x) = p(x)q(x) quindi f'(x) = p'(x)q(x) + p(x) q'(x)

Derivata del reciproco: &flowing; { f(x) − g(x)²

Derivata della divisione: f(x) = p(x) / q(x) quindi f'(x) → q(x)p'(x) − p(x)q'(x) /[p(x)²]

Derivata di funzione composta

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna avente come argomento la funzione interna, e la derivata della funzione interna.

D {f[ g(x)] } = f'[ g(x)] • g'(x)

Es: y = sin (x 2xlogx)

y' = cos (x (1+logx + 2 ) + 2•logx • 2) = cos x(logx)/ − (sinx•cosx)/cos x

Introduzione

y = f(x): m (x - x₀): Equazione generica per trovare una retta.

m = ?

m_sec = ^Δy/_Δx = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_{x0 + h - x0} = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h con h → 0

Rappresento incrementi

m_tan: lim _{h → 0}^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h

Se questo lim esiste ed è finito la funzione g = f(x) si dice derivabile nel punto x = x₀ e il valore che il lim assume prende il nome di derivata di f in x₀.

Funzioni costanti

f(x) = k

f '(x) = lim _{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h = ^{k - k}/_h = 0

Funzione potenza

f(x) = xⁿ → f '(x) = nx^n-1

f(x) = √x = (x) ¹/₂ = (x¹/₂)' = ¹/₂(x)^-1/₂ = ¹/_2(x)¹/2 = ¹/_2√x

Derivata di

f(x) = sin(x) → f '(x) = cos(x)

f(x) = cos(x) → f '(x) = -sin(x)

f(x) = e^x → f '(x) = e^x

f(x) = a^x → f '(x) = a^x ln a

f(x) = ln x → f '(x) = ¹/_x

Derivata della somma o del prodotto di due o più funzioni

Derivata della somma

Se p(x) e q(x) sono due funzioni: e f(x) = p(x) + q(x), allora f '(x) = p'(x) + q'(x)

Derivata del prodotto

f(x) = p(x)q(x) quindi f '(x) = p'(x)q(x) + p(x)q'(x)

Derivata del rapporto

f(x) = ^p(x)/_q(x) quindi f '(x) = ^{p'(x)q(x) - p(x)q'(x)}/_[q(x)]²

Derivata della funzione composta

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, valutata come argomento la funzione interna, e la derivata della funzione interna.

D [ f ( g(x) ) ] = f'( g(x) ) * g'(x)

Es: y = sin ( x ln(x) )

y' = cos(x ln(x)) * (x ln(x))' = cos( X ^atridR{x}) * ( derivata della funzione linea ) = cos( X ^{atrdR Atherm}) * ( derivato ) = ( -sin(cos x ln x)) * ( 1 * cos

Esercizi di riepilogo

Molti errori dove è composta

• Y = x → y₁ = e^ln(xx) = x • ln x = e^{xln x}    [1+x; 3x • ln x²] lo scopo perché sono 2 funzioni inverse equiv.
• G = (sin x)^{cos x} → y₁ = e^{cos ln (sin x)}    [−sin ln (sin x) • cos    ¹/_sin • cos x] cotg x
• Y = e^{sin x} → y₁ = x → y = (x³・sin x)    (⅓・x³・sin x・x¹・cos x) = √x − sin x ・ ^{sin x • 3x・cos x}/_{3 √x²}
• G = sin  (^x/₂) → y₁ = cos(x²)    ^{x2・6x・x3・x>1}・x₄・x₅ • cos   (^x2/sin x²) • (x² ・ x²)/>x²

Altri esercizi

• Es.1: f(x) = ½x² • 3x + 7 → f'(x) x = x−3
• Es.2: f(x) = x²⁰¹⁷ • ¹/₄ • 2√x → f(x) = 2018x²⁰¹⁸−4・(−1)•x², >1/₄
• Es.3: f(x) = sin x•(−2 cos x) → cos x•(−2 cos x) + sin (−4・2 sin x) = cos x − 2cos x²+ 1 sin x²
• Es.4: f(x) = (4x−4)³−6 → 3•(4x−1)²•4
• Es.5: f(x) = 6 x • 3² • 8x² • 12 • x − 1 − 6 → f'(x) = 192 x² −96 x +2
• Es.6: f(x) = ln(^1−x/_1+x) —•• f'(x) = ¹/_1+x² • ^−1・(x)/_1+x² = ^x/_−1+x2 − ²/_1+x² − ²/_1+x²
• Es.7: f(x) = x³ • 3x • 3 • ln₃ • √3 → f(x) = x³↔3x・ln₃ + 1/^{ln 3}
• Es.8: f(x) = √ln(sin x)・x •x •  → f' _→ ¹/_{2 ln(sin x)}・₁/sin xċ cos¹/x • • (cos x∗¹/_x+(-sin¹ln)

Punti di non derivabilità: cuspidi, flessi a tangente verticale e punti angolosi

La continuità in un punto della funzione è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la derivabilità della funzione nello stesso punto. Se f(x) non è continua in x₀, sicuramente non è derivabile in x₀.

Es. f(x) = x² x≠0 0 x=0 ⇒ infatti f(x) non è continua in x=0

lim_x→0 f(x) = lim_x→0 sinx/x ≠ f(0) = f(x=0)

• Se i due limiti, essendo finiti, sono uguali: ⇒ f(x) è derivabile in x₀ ed il valore comune dei limiti coincide con f'(x₀).
• Y = cosx x≥0 x³+x x0 y²x
• Lim_x→0⁺ f'(x) = lim_x→0⁻ 2x = 0
• Lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁻ (-sin x) = 0
• F(x) è derivabile in x=0 e f'(0)=0
• Se i due limiti esistono ma sono diversi: ⇒ f(x) non è derivabile in x₀ dove presenta un punto angoloso.
• X, x≥0 −x, x0 y'1, x>0 −1, x