Derivate e calcolo differenziale - Analisi 1

Calcolo differenziale: derivata di funzioni

Interpretazione analitica

(, ) → ℝ ∈ (, )…

Data e 0 ℎ ∈ ℝ, |ℎ| ≪ 1) Ci si sposta da con un incremento molto piccolo (ℎ0 ( + ℎ) − ( ),

La funzione avrà quindi una variazione variazione che di per sé non è 0 0 significativa se non si rapporta all’incremento della variabile indipendente: cioè questa variazione, per darci un tasso di variazione, deve essere rapportata all’incremento:

( + ℎ) − ( )0 0 ℎ

Questa quantità è nota come rapporto incrementale ed è il tasso di variazione medio nel + ℎ momento in cui la variabile indipendente passa da a (tasso di variazione medio 0 0 ).

Dei valori di rispetto ad + ℎ. In pratica esprime come varia la funzione mediamente nel passare da a 0 0.

Si osservi però questo caso: 1 2 Sicuramente il rapporto incrementale di ed è uguale (hanno la stessa variazione) ma puntualmente ciò non è vero.

L’idea è quella di lavorare localmente in un intervallo sempre più piccolo e quindi sfruttare il limite per trovare puntualmente (punto per punto) questa variazione.

( +)−( ) = ′( )

Si dice derivabile in se esiste finito il che è la derivata →.

La derivata è quindi il tasso di variazione puntuale dei valori di rispetto ad.

Interpretazione geometrica

Data una funzione che si suppone essere derivabile in, si parte dall’idea di voler 0 definire una tangente ad una curva qualsiasi:()

Si considera quindi la retta secante ad passante per i punti))( , ( ( + ℎ, ( + ℎ))e0 0 0 0.

L’equazione della secante sarà la seguente: − ( ) − () = =( + ) − ( ).

Ordinando per formula inversa:

( + ) − ( ) ( )= ∙ − + ( ).

Si nota che il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della secante.

Si nota inoltre che man mano che diminuisce l’incremento, cioè considerando incrementi sempre minori, la retta secante tende a diventare sempre più retta tangente fino a quando le due rette coincideranno.

→ Dunque, il coefficiente angolare della tangente lo si trova passando al limite per:

( + ) − ( ) = → = ()

Se questo limite esiste ed è finito allora la funzione si dice derivabile nel punto e il valore che assume il limite prende il nome di derivata di in.

A questo punto l’equazione della retta tangente sarà la seguente:

′ ( )( ) = − + ( ).

Prime regole di derivazione

[] =

Si dimostra:

(+ℎ)−() − = =0 .

ℎ ℎℎ→0 ℎ→0

[ + ] =

Si dimostra:

( + ℎ) + − − ℎ = = ℎ ℎℎ→0 ℎ→0

][ =

Si dimostra:

2 2 2 2 2( + ℎ) − + 2ℎ + ℎ − ℎ(2 + ℎ) = = = 2ℎ ℎ ℎℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

[√] = √

Si dimostra:

+ ℎ − √ + ℎ − √ √ + ℎ + √ +ℎ− 1√ √ = ∙ = = ℎ ℎ 2√√ + ℎ + √ ℎ(√ + ℎ + √)ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

[ ] = −

Si dimostra:

1 1− 1 − − ℎ 1 + ℎ = ∙ = − 2ℎ ℎ ∙ ( + ℎ) ℎ→0 ℎ→0 −

][ =

Date le precedenti tre regole si intuisce che ][ =

Si dimostra:

+ℎ ℎ − − 1 = ∙ = ℎ ℎℎ→0 ℎ→0

Limite notevole

[()] =

Si dimostra:

( + ℎ) 1log (log( + ℎ) − log() 1 + ℎ) + ℎ ℎ = lim = lim ∙ log = lim log =( )ℎ ℎ ℎ ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0ℎ→0

1ℎ ℎ 1 11 1ℎlim log + = = , ℎ → 0 → 0] = lim log(1 + ) = lim ∙ log(1 + ) =(1 ) [ ℎ→0 →0 →0

Limite notevole

[()] = ()

Si dimostra:

( + ℎ) − () [( = + ) = () () + () ()] = ℎℎ→0

() (ℎ) + (ℎ) () − () 1 − ℎ ℎ = − ℎ + =2ℎ ℎ ℎℎ→0 ℎ→0 =

[()] = −()

Si dimostra

Dimostrazione analoga a quella precedente.

Continuità e derivabilità

Proposizione

Se è derivabile in un punto x allora è continua in x0 0.

Attenzione

Non vale il contrario: cioè se la mia funzione in un punto è continua non è detto che sia derivabile.

|| =

Per esempio la funzione che ha questo grafico, è una funzione continua in tutti i punti, e anche nel punto x=0. Ma nonostante sia continua in x=0, sempre nello stesso punto x=0 non è derivabile perché se provo a disegnare la tangente a destra e sinistra, queste non coincidono.

x=0 è quindi un punto di non derivabilità, in particolare un punto angoloso (se infatti facciamo i limiti per h->0 sia da destra che da sinistra del rapporto incrementale di |x| otterremo due valori finiti e distinti.

Dimostrazione

Primo passaggio

Inizio subito a delineare il mio obiettivo: quello di dimostrare che la funzione che in un punto x che so già essere derivabile (per ipotesi), in quel punto x è anche continua. 0 0

lim () = ( )

Ricordiamo che una funzione è continua in un punto quando 0→0.

lim () =

Ci iniziamo a scrivere quindi →0.

Sapendo che in la funzione è derivabile e quindi esiste ed è finito il limite del rapporto 0 incrementale, da questa scrittura andiamo ad eseguire dei passaggi fino ad ottenere il limite del rapporto incrementale.

Secondo passaggio

() − ( )

Cerco un modo per arrivare a scrivere l’incremento (che è ). 0)(

Sottraggo e aggiungo quindi per delineare l’incremento ma senza variare e far 0 perdere di generalità la mia quantità iniziale:

=))= lim (() − ( ) (+0 0→0

Terzo passaggio

−

Mi manca ancora il mio incremento (che sarà )0− )

Moltiplico e divido per ( in modo da ottenere l’incremento senza variare la quantità 0 iniziale e non far perdere di generalità.

(− )0 =) ))= lim (() − ( ∙ (+0 0(− )→ 00 )()− (0 =( ) ))= lim ( ∙ − (+0 0(− )→ 00

Ma se x tende ad allora le quantità in rosso diventano zero e il risultato del mio limite 0)( lim () = ( ). sarà e quindi 0 0→0.

Da intuire come conseguenza che…

Se non è continua in un punto allora sicuramente non è nemmeno derivabile.

Quindi:

• Derivabilità in un punto implica continuità in un punto.
• Non continuità in un punto implica non derivabilità in un punto.
• Non derivabilità in un punto non implica non continuità in un punto.

Ulteriori regole di derivazione

[ + ] = [] + []

Si dimostra:

( + ℎ) − () + ( + ℎ) − () ( + ℎ) − () ( + ℎ) − () = + = [] + []ℎ ℎ ℎℎ→0 ℎ→0

[ ∙ ] = [] ∙ + ∙ []

Si dimostra:

( + ℎ)( + ℎ) − ()() = ℎℎ→0

( + ℎ)( + ℎ) − ()( + ℎ) + ()( + ℎ) − ()()= = ℎℎ→0

( + ℎ) − () ( + ℎ) − () [] ∙ + ∙ []= ∙ ( + ℎ) + () ∙ =ℎ ℎℎ→0

[ ∙ ] = ∙ []

Data che è una costante.

[][ =] −

Si dimostra:

1 1−1 1 () − ( + ℎ)( + ℎ) ()[] [ ] = = ∙ = ℎ ℎ ( + ℎ)()ℎ→0 ℎ→0

−( + ℎ) − () 1 []= ∙ =− 2ℎ ( + ℎ)() ℎ→0

[ ] ∙ − ∙ [][ =] 2

Si dimostra:

′ ′() () 1 1 1 ()[] [] [()] [] [ ] = [ ∙ ] = [][] ∙ + ∙ [ ] = + =2[()] [()] ()[] ∙ − ∙ []= 2

[(())] = [(())] ∙ [()]

Idea di dimostrazione

Si illustra un’idea di dimostrazione:

(( + ℎ)) − (()) = ℎℎ→0 :

Le due quantità in blu possono essere interpretate come la variazione di in la funzione varia di quella differenza e se si moltiplica e divide per l’incremento si ottiene il rapporto () incrementale di in.

(( + ℎ)) − (()) ( + ℎ) − ()= ∙ = ′(()) ∙ ′()( + ℎ) − () ℎℎ→0

Si è premesso che si tratta di un’idea di dimostrazione perché si suppone che ( + ℎ) − () ≠ 0.

−[ ()] = , = (),

Derivata della funzione inversa

′()

Si dimostra:

:Incrementando −1 + = ( + ℎ) ↔ + ℎ = ( + )−1 −1

( + ) − () +ℎ− 1 1 = = = ( + ℎ) − () ( + ℎ) − () ′()→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ

Esempi

• 2 = √ ↔ = 1 1 1[√] = = =2[ ] 2 2√
• = log () ↔ = 1 1 1[log()] = = = [ ]
• = arcsin () ↔ = sin() 1 1 1 1[arcsin ()] = = = =[sin ()] cos () 22 √1 − − ()√11[arccos ()] = − Di conseguenza si intuisce che 2√1−
• 1 1 1[arctg()] = = =2 2[tg ()] 1+ 1+
• −1 (1) () = +