Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.11 con commento audio

Discutere la derivabilità della seguente funzione f di x uguale a zero per x uguale a zero e f di x x per il seno di uno su x quando x è diverso da zero

Il grafico fatto a computer mostra un andamento un po' particolare nell'intorno dell'origine. Non è chiaro da questo grafico se la funzione sia derivabile o no. Sembra ci sia un'oscillazione un po' che porti non derivabilità, controlliamo il tutto.

Facendo il conto è chiaro che altrove, con x diverso da zero, la funzione è derivabile in quanto funzione data da x per il seno di uno su x zero. Si tratta di una funzione regolare per composizione.

Anzitutto verifichiamo che sia la continuità, ovvero la continuità, sia per il teorema del confronto, in quanto zero è minore o uguale del modulo di x per il seno di uno su x e controllo della funzione quando x è diverso da zero che mi riguarda il modulo x, in quanto sceglie sempre minore di uno in modo non conosciuto. Quindi, per il teorema del confronto, zero tende a zero, modulo di x zero zero, quindi anche x per il seno su x zero.

Se si vuole che la funzione è sempre definita in serie, valendo zero essere continua per il vero, per quanti quella derivata prima. Usiamo la definizione limite del rapporto incrementale incrementale. Siccome F0A0 è dato da a cassino di misura tocca, quindi il limite del rapporto incrementale è il limite che tende a zero del seno di uno sua.

Questo limite, come è noto, non esiste, in quanto l'argomento del seno non ha nemmeno limite, ma quantità illimitata. E se invece una funzione periodica non ha limiti all'infinito, ne segue che non è derivabile x zero.