Derivate in una variabile
Esercizio 12
Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:
f(x) = { 0 x = 0
x2 sin (1/x) x nonzero
Soluzione. Il grafico della funzione data è il seguente:
La funzione f è continua anche in x = 0; infatti
0 ≤ |x2 sin (1/x)| ≤ x2
e si applica nuovamente il Teorema del confronto per i limiti. Andiamo a calcolare, se esiste, f'(0) (altrove non ci sono problemi di derivabilità):
f'(0) = limh->0 [h2 sin (1/h)] / h = limh->0 h sin (1/h) = 0.
Ne segue che f è derivabile anche in x = 0. f' è data da, per x nonzero,
f'(x) = 2x sin (1/x) + x2 cos (1/x) (-1/x2) = 2x sin (1/x) - cos (1/x)
la quale ha grafico:
1
2
Derivate in una variabile esercizio 12
Si evince dal grafico, e si verifica direttamente, che f' non ha limite per x 0; ne segue che f' non è una funzione continua. Dunque f è una funzione derivabile in x = 0, ma con derivata non continua in x = 0.
In questo esercizio ci chiede di discutere la derivabilità della funzione data da x uguale a zero per x uguale a zero e x a seconda per il seno di uno su x per x diverso da zero
Notare questo esercizio diverso dal precedente, in quanto qui la funzione di moltiplicazione di su x x al quadrato e non x e questo cambierà le cose.
Il grafico come al solito è abbastanza in questo caso poco indicativo. Studiamo anzitutto la continuità in zero che sembra esserci ancora per i termini del confronto la quantità in zero, cioè il segno generato da uno. Di conseguenza x4 su x tende a zero in quanto sta una funzione infinitesima.
Per quanto riguarda la derivata prima zero, come al solito procediamo con la definizione limite del rapporto incrementale. Il rapporto incrementale è dato da h4 seno di un frutto H in quanto è vero, semplificando, è dato da H persino su H e stavolta l'intervallo di unità risulta essere uguale a zero. Per trovare il confronto vedi esercizio precedente. Quindi si tratta di una funzione derivabile in x uguale a zero.
La derivata prima osserviamo che è data quando x diverso da zero da due x seno di uno su x meno il coseno di uno su x. A conti fatti matrici per x uguale a zero è data da F ed è dato da f primo in zero uguale a zero. Qui è riportato il grafico della derivata prima del grafico. Si vede chiaramente che la derivata prima non ha limite quando x tende a zero, ovvero f primo non è una funzione continua. Quindi ho trovato un esempio di funzione che è derivabile su tutto r2, ma la derivata prima non è continua, in particolare non è continua per x uguale a zero. Quindi questo è un esempio importante da ricordare in quanto si tratta di una funzione derivabile ma non di classe C1.
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