Derivate di funzioni in una variabile: esercizio 3.12 con commento audio

In questo esercizio ci chiede di discutere la derivabilità della funzione data da x uguale a zero per x uguale a zero e x a seconda per il seno di uno su x per x diverso da zero

Notare questo esercizio diverso dal precedente, in quanto qui la funzione di moltiplicazione di su x x al quadrato e non x e questo cambierà le cose.

Il grafico come al solito è abbastanza in questo caso poco indicativo. Studiamo anzitutto la continuità in zero che sembra esserci ancora per i termini del confronto la quantità in zero, cioè il segno generato da uno. Di conseguenza x4 su x tende a zero in quanto sta una funzione infinitesima.

Per quanto riguarda la derivata prima zero, come al solito procediamo con la definizione limite del rapporto incrementale. Il rapporto incrementale è dato da h4 seno di un frutto H in quanto è vero, semplificando, è dato da H persino su H e stavolta l'intervallo di unità risulta essere uguale a zero. Per trovare il confronto vedi esercizio precedente. Quindi si tratta di una funzione derivabile in x uguale a zero.

La derivata prima osserviamo che è data quando x diverso da zero da due x seno di uno su x meno il coseno di uno su x. A conti fatti matrici per x uguale a zero è data da F ed è dato da f primo in zero uguale a zero. Qui è riportato il grafico della derivata prima del grafico. Si vede chiaramente che la derivata prima non ha limite quando x tende a zero, ovvero f primo non è una funzione continua. Quindi ho trovato un esempio di funzione che è derivabile su tutto r2, ma la derivata prima non è continua, in particolare non è continua per x uguale a zero. Quindi questo è un esempio importante da ricordare in quanto si tratta di una funzione derivabile ma non di classe C1.