Derivate in una variabile
Esercizio 8
Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:
f(x) = sin(|x|).
Soluzione. La funzione data non ammette derivata in x = 0, come si vede facilmente dal grafico:
Per dimostrarlo basta osservare che
f+(0) = limh -> 0+ sin h / h = 1
non risulta uguale a
f-(0) = limh -> 0- sin(-h) / h = - limh -> 0- sin h / h = -1.
In questo esercizio si chiede di studiare, di discutere la derivabilità della funzione F di x quale seno del modulo di x
Continuità e derivabilità
Questa funzione è definita e continua su tutto R. Il grafico è rappresentato da questa figura fatta al computer, dalla quale si evince chiaramente che la funzione non è derivabile in x zero, cosa che comunque va dimostrata.
Per dimostrarlo calcoliamo la derivata destra in zero e la derivata sinistra in zero. Mostriamo che sono diverse tra di loro.
Per quanto riguarda la derivata destra in zero, questo è per definizione dato dal limite per h, incremento che tende a zero, di f di h meno f di zero fratto h, che risulta essere seno di h fratto h, con limite uno, mentre la derivata sinistra in zero è la stessa cosa, ma per il limite quando h tende a zero meno.
Di conseguenza la frazione pari a zero è pari al seno di meno h. Certo, h, in quanto nella funzione sia modulo come argomento del seno, un modulo di x. Di conseguenza questo è uguale a meno limite per zero.
Meglio di Silvia h. Disparità della funzione seno, il quale risulta essere con limite uno, derivata destra diverso derivata sinistra e segue che la funzione non è derivabile in zero.
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