Derivate in una variabile
Esercizio 10
Discutere la derivabilità della seguente funzione definita su tutto R:
f(x) = { 0, x < 0; x2, x ≥ 0.
Soluzione. Il grafico di f è dato da:
f è anzitutto continua; inoltre
f'+(0) = lim h 0+ h2/h = 0,
f'-(0) = lim h 0- 0/h = 0,
quindi f è derivabile in x = 0 (altrove non vi sono problemi). Osserviamo che la funzione f'(x) è data da
f'(x) = { 0, x < 0; 2x, x ≥ 0
il cui grafico è dato dal seguente:
2
Derivate in una variabile Esercizio 10
Si ha quindi che f' è continua, ma non derivabile in x = 0; ne segue che f non ammette derivata seconda in x = 0.
In questo esercizio si richiede di discutere la derivabilità della funzione definita a tratti in questo modo x uguale a zero per x minore di zero e x uguale x al quadrato per x maggiore o uguale di zero
Il grafico rappresentato in questa figura, dal quale risulta abbastanza chiaro che la funzione è derivabile anche su un unico punto in cui potrebbe non esserlo, visto che altrove la funzione è regolare in quanto funzione nulla e potenza rispettivamente.
Calcoliamo, per dimostrare la derivabilità in zero, derivata destra e sinistra. Il rapporto incrementale positivo è dato da h quattro fratto h che tende a zero. Il rapporto incrementale quando h negativo è dato da zero su h, il quale identicamente zero difficilmente tende a zero.
Quindi la funzione data è derivabile anche in x uguale a zero, derivata prima, in particolare zero. Osserviamo che la derivata prima è data da zero se x è minore di 0E2XX0, che ha il grafico in figura. Quindi in particolare la derivata prima è continua.
Quindi la funzione data di classe C1 è una funzione derivabile. Quindi possiamo dire che la funzione data non ammette derivata seconda x uguale a zero.
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