Simmetria a scuola e intorno a noi: decorazioni, segnali stradali e poligoni che insegnano matematica in movimento

Università degli Studi di Milano – Bicocca

Facoltà di Scienze della Formazione

Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria

Decorazioni, segnali stradali e poligoni: la simmetria a scuola e intorno a noi

Relatore: Dott.ssa Marina Cazzola

Correlatore: Dott.ssa Claudia Vasilotta. Tesi di Laurea di:

Sara Mainardi

Matr. 067173

Anno Accademico 2007-2008

Indice

Introduzione p. 3

Prima parte

Riferimenti psicopedagogici p. 5

Riferimenti didattici p. 13

Didattica della matematica p. 25

Riferimenti matematici p. 33

Seconda parte

Il contesto scolastico p. 41

Le mie scelte p. 47

Il progetto p. 52

Conclusioni p. 80

Ringraziamenti p. 84

Allegati p. 85

Bibliografia p. 120

Introduzione

“La capacità di studiare, comprendere e impadronirsi degli argomenti in ambito matematico è simile, sotto certi aspetti, al saper nuotare o andare in bicicletta, due abilità che non possono essere raggiunte stando fermi” (H. S. M. Coxeter)

È possibile imparare la matematica in movimento, attivando non solo la propria mente ma anche le mani, gli occhi, l’intero corpo? Quali vantaggi offre in matematica il lavoro di gruppo rispetto a quello individuale?

Cosa c’è di matematico in una decorazione, una bandiera o un fiore?

Cosa accomuna il segnale di divieto di fermata al quadrato?

Sono solo alcuni degli interrogativi ai quali la presente relazione finale cerca di dare una risposta teorica e pratica.

Questo lavoro è nato infatti dal desiderio di mettere a frutto gli anni di studio universitario in un progetto che coniugasse l’apporto teorico ricevuto in ambito accademico al vissuto quotidiano di una normale realtà scolastica. Ho avuto la possibilità di concretizzare le mie idee in un percorso sulla simmetria proposto ad una classe quarta di una scuola primaria di Milano.

Oltre agli obiettivi specifici di apprendimento, rientra tra gli scopi del progetto la sperimentazione di una modalità di insegnamento della matematica che coinvolga in modo attivo i bambini e che li porti verso una nuova visione della disciplina. Nelle attività che ho proposto ho sempre cercato infatti di mostrare agli alunni numerosi esempi di come la matematica non sia confinata nei libri di scuola ma pervada i diversi ambiti della realtà che ci circonda. Ritengo infatti che la capacità di cogliere i “segnali matematici” presenti nel mondo intorno a noi debba essere coltivata e incentivata fin dalla scuola primaria e il mio progetto ha voluto concorrere verso questo obiettivo generale.

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La prima parte del seguente lavoro ripercorre brevemente le conclusioni alle quali, nell’attuale panorama psicopedagogico e didattico, sono giunti differenti autori e correnti di pensiero. In particolare mi sono soffermata su quei contributi che hanno maggiormente influito la mia formazione, costituendo un punto di riferimento nelle fasi di progettazione, proposta e verifica del percorso sulla simmetria.

Nella seconda parte invece presento in modo più specifico il mio progetto, esaminando il contesto nel quale ho operato, raccontando come si sono svolte le diverse attività e motivando le scelte fatte. Infine propongo una valutazione generale del percorso.

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Prima parte

Riferimenti psicopedagogici

Nel mio corso di studi ho avuto modo di conoscere e approfondire il pensiero di numerosi autori e l’apporto che differenti orientamenti teorici hanno offerto allo sviluppo delle discipline psicopedagogiche e didattiche. Attraverso le attività laboratoriali e di tirocinio ho inoltre potuto confrontare gli apprendimenti teorici con la pratica operativa, rendendomi conto di quali contributi costituiscano il bagaglio culturale indispensabile ad ogni insegnante.

La breve trattazione che segue, pertanto, ha come unico obiettivo la messa in risalto di quegli elementi che, più di altri, hanno costituito un importante punto di partenza e un costante riferimento nel lavoro di progettazione e proposta del mio percorso didattico, senza aver la pretesa di descrivere in modo esaustivo il contributo che gli studiosi citati hanno portato allo sviluppo delle discipline psicopedagogiche.

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Jean Piaget (1896 – 1980) nella sua teoria sullo sviluppo cognitivo descrive come opera la nostra mente nell’attività di conoscenza e come essa si modifica nel suo svilupparsi.

Egli distingue gli aspetti funzionali invarianti dalle strutture cognitive varianti.

All’interno dei primi troviamo la tendenza all’organizzazione, cioè l’idea che la nostra mente costruisca da sé delle strutture cognitive unitarie (schemi e operazioni) che le permettono di agire efficacemente sulla realtà. Vi è inoltre la tendenza all’adattamento che si realizza attraverso l’equilibrio tra due processi complementari: l’assimilazione (un aspetto della realtà esterna viene incorporato nella struttura mentale del soggetto, senza che questa ne sia modificata) e l’accomodamento (per poter incorporare i dati dell’esperienza, il soggetto deve modificare la propria struttura cognitiva, adattandola alle loro caratteristiche).

Le strutture cognitive sono modificate dal soggetto nel corso del suo sviluppo secondo una sequenza che Piaget identifica in una precisa successione di periodi:

• Periodo sensomotorio (dalla nascita fino a 18-24 mesi), durante il quale l’intelligenza si organizza in forma pratica;
• Periodo preoperatorio (fino a 7/8 anni), caratterizzato dalla comparsa e dallo sviluppo dell’attività rappresentativa (es. gioco simbolico);
• Periodo operatorio concreto (fino a 11/12 anni), in cui il bambino è in grado di eseguire operazioni mentali a partire dall’esperienza concreta;
• Periodo operatorio formale (dai 12 anni), durante il quale il soggetto sa operare con idee e conoscenze astratte.

Anche se attualmente questa impostazione teorica è stata superata, ritengo che alcuni elementi presenti in essa possano ancora costituire un importante punto di riferimento. Innanzi tutto la consapevolezza che lo sviluppo di nuovi processi cognitivi nasca dal contrasto tra i dati della realtà esterna e le strutture mentali del soggetto, in particolare nel processo di accomodamento, fornisce importanti indicazioni metodologiche all’insegnante.

Inoltre, la successione degli stadi di sviluppo cognitivo, pur essendo stata ampiamente criticata per l’inflessibilità che le ha dato Piaget, ha il merito di identificare in modo chiaro e sintetico il livello di strutturazione mentale dei soggetti. Se presa in modo non rigido né deterministico, può offrire indicazioni sulle modalità e sequenzialità con cui presentare agli alunni i diversi argomenti di studio.

Il pensiero di Lev S. Vygotskij (1896 – 1934) è spesso presentato in antitesi a quello di Piaget. Lo studioso russo ha infatti dato avvio alla prospettiva di studi storicoculturali, affermando l’esistenza di uno stretto legame tra lo sviluppo cognitivo e la cultura di appartenenza del singolo, contrapponendosi in questo modo a quanto affermato da Piaget a proposito dell’universalità degli stadi di sviluppo dell’intelligenza.

Vygotskij sostiene che le funzioni mentali superiori, tra le quali l’attenzione volontaria, il pensiero, la memoria logica, hanno origine nelle relazioni sociali. Egli ritiene quindi che si possono osservare le funzioni mentali che si stanno sviluppando nel bambino là dove esse si costruiscono e cioè nelle attività di collaborazione.

Da questa consapevolezza hanno preso avvio i suoi studi, all’interno dei quali assume un ruolo di fondamentale importanza, il concetto di Zona di Sviluppo Prossimale, definita come la distanza fra il livello di sviluppo attuale, stabilito dal tipo di abilità mostrata da un soggetto che affronta individualmente un compito, e il livello di sviluppo di cui il soggetto dà prova quando affronta un compito del medesimo tipo, con l’assistenza di un adulto o di un coetaneo più abile.

Vygotskij, parlando dell’insegnamento, ha sostenuto che questo è utile solo quando si colloca oltre il livello di sviluppo attuale del bambino, conducendolo ad intraprendere attività che lo spingano a superare se stesso. Ritengo quindi che il primo obiettivo educativo che un docente si debba porre sia quello di individuare una possibile zona di sviluppo prossimale che permetta all’alunno di passare da un livello cognitivo al successivo, quindi creare occasioni perché questa si possa realizzare.

Sono stati alcuni psicologi seguaci di Vygotskij a coniare il termine scaffolding, indicando le modalità che l’adulto dovrebbe utilizzare per promuovere lo sviluppo cognitivo del bambino attraverso la metafora dell’impalcatura, che costituisce un supporto nel momento in cui si avvia la costruzione di un edificio, ma che viene tolta una volta che questo è completo. Lo scaffolding prevede il coinvolgimento del bambino, la riduzione della difficoltà, il mantenere orientata l’attività verso l’obiettivo, il segnalare caratteristiche specifiche del compito, il controllare la frustrazione del bambino. Si tratta di una prima modalità operativa alla quale l’insegnante può fare riferimento e che ha costituito la base per lo sviluppo di numerose metodologie didattiche.

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È stato Jerome Bruner (nato nel 1915) a comprendere per primo l’importanza di entrambi i contributi sopra citati e a provare ad integrarli. Nella sua teoria si trovano infatti alcuni elementi riferibili all’approccio di Piaget basato sulle strutture cognitive che si sviluppano per stadi e altri legati alla prospettiva storicoculturale di Vygotskij.

Bruner ipotizza l’esistenza di tre modalità di rappresentazione della conoscenza:

• Il sistema attivo, in cui la conoscenza è organizzata in sequenze d’azioni e quindi il pensiero e l’apprendimento sono basati sulla sperimentazione pratica;
• Il sistema iconico, in cui la conoscenza è organizzata attraverso immagini e quindi il pensiero e l’apprendimento sono legati all’osservazione e alla percezione visiva e uditiva;
• Il sistema simbolico, in cui la conoscenza è organizzata mediante simboli e quindi il pensiero e l’apprendimento sono centrati sul linguaggio che consente di comprendere e comunicare il rapporto tra significati e simboli.

Secondo Bruner i tre sistemi sono legati e interdipendenti, per cui le capacità del livello simbolico presuppongono lo sviluppo di quelle a livello attivo e iconico. Tuttavia tali forme possono essere compresenti nei diversi momenti della vita del bambino e dell’adulto. È quest’ultima considerazione che allontana il pensiero di questo Autore dalla teoria degli stadi di sviluppo di Piaget.

Bruner sostiene poi che sia la cultura a favorire il passaggio da un sistema di conoscenza ad un altro, modellando il pensiero attraverso gli strumenti che mette a disposizione, che sono considerati come degli “amplificatori” culturali del sistema sensoriale e motorio dell’individuo. Utilizzati come protesi, aumentano quindi il potere d’azione del soggetto sulla realtà. È attraverso la costruzione e l’utilizzo degli strumenti che il pensiero viene plasmato nelle forme attiva, iconica o simbolica.

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Grazie a queste conoscenze l’insegnante è portato a considerare le discipline non solo per il loro aspetto contenutistico, ma prima di tutto come sistemi di simboli e di strumenti che consentono all’individuo di amplificare le proprie capacità intellettive. Sarà inoltre consapevole del fatto che per ogni capacità o conoscenza esiste un’adeguata versione che può essere proposta a qualsiasi età, se si rispettano i vincoli cognitivi dello sviluppo dell’individuo, permettendogli di utilizzare i sistemi di rappresentazione a lui più congeniali in quel momento.

In uno degli studi più recenti, Bruner stesso ha indicato quattro criteri fondamentali per costruire ambienti in cui l’apprendimento sia significativo:

• La capacità d’azione, intesa come la possibilità che il soggetto apprendente assuma il controllo della propria capacità mentale;
• La riflessione, per cui è necessario che l’individuo dia un senso personale a ciò che sta imparando, collocandolo in contesti reali;
• La collaborazione, per cui l’attività cognitiva è il risultato dell’interazione tra i diversi membri impegnati nell’insegnamento e nell’apprendimento;
• La cultura, che rappresenta lo stile di vita e di pensiero condiviso, frutto della costruzione e della negoziazione della conoscenza.

Il contributo di Howard Gardner (nato nel 1943) si basa sulla Teoria delle Intelligenze Multiple. Egli ha inizialmente formulato una nuova definizione di intelligenza, intesa come la capacità di risolvere problemi o creare prodotti che sono apprezzati all’interno di uno o più contesti culturali.

Gardner ha in seguito sostenuto che tutti gli esseri umani dispongono di almeno otto modi di conoscere il mondo, cioè di otto tipi diversi di intelligenza. A differenziare gli individui sono i modi in cui questi vengono combinati tra loro per portare a termine i vari compiti.

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Rilevante in campo educativo è il fatto che ad ogni tipo di intelligenza corrisponde una differente modalità di apprendere:

• Intelligenza cinestesica: l’apprendimento è favorito dalle attività che richiedono la mediazione del corpo e del movimento;
• Intelligenza interpersonale: l’apprendimento è favorito dall’interazione con gli altri e dalle attività cooperative;
• Intelligenza intrapersonale: l’apprendimento è favorito nelle attività individuali, riflessive e metacognitive;
• Intelligenza logico-matematica: l’apprendimento è favorito da attività in cui è previsto l’uso di numeri e schemi;
• Intelligenza musicale: l’apprendimento è favorito dall’uso di ritmo, melodia e canto;
• Intelligenza naturalista: l’apprendimento è favorito da attività all’aperto e dall’interazione con materiali della natura e dell’ambiente;
• Intelligenza linguistica: l’apprendimento è favorito da attività centrate sul linguaggio e sulle parole;
• Intelligenza spaziale: l’apprendimento è favorito dall’utilizzo di materiali visivi come mappe, disegni e modelli tridimensionali.

Sulla base di queste considerazioni l’istruzione non dovrebbe privilegiare solo alcune modalità cognitive, come invece è accaduto per molto tempo, ma promuovere i diversi tipi di intelligenza attraverso attività che ne vadano a favorire lo sviluppo.

È all’interno dell’approccio socio costruttivista che ho però ritrovato i più importanti appoggi teorici.

Attraverso diverse ricerche, avviate a partire dagli anni ’70, gli studiosi che si riconoscevano in questa prospettiva teorica hanno indagato nei dettagli le dinamiche che permettono di comprendere come gli individui costruiscono i propri strumenti cognitivi grazie alle interazioni sociali.

I primi risultati ai quali sono pervenuti sono riassunti nella Teoria del Conflitto Sociocognitivo, secondo la quale:

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• I soggetti sono in grado di costruire strumenti cognitivi, che ancora non padroneggiano a livello individuale, coordinando le proprie azioni con quelle dei partner, anch’essi incapaci di risolvere da soli il compito assegnato;
• I soggetti che hanno partecipato a questo tipo di interazioni sociali diventano capaci di eseguire da soli compiti di difficoltà analoga: questo significa che hanno effettivamente costruito una più elaborata capacità di risolvere i compiti e che sono in grado di padroneggiarla;
• Operazioni cognitive che vengono costruite in questi contesti hanno un carattere di stabilità e sono trasferibili ad altre situazioni e a materiali diversi.

Due difficoltà rilevanti possono essere connesse all’attivazione di situazioni di conflitto sociocognitivo. La prima è legata al far percepire e riconoscere la differenza tra la propria risposta e quella dell’altro di fronte ad un compito dato. Questo ostacolo si verifica soprattutto quando a confrontarsi sono dei bambini, ancora pienamente assorbiti dal proprio egocentrismo cognitivo. L’altra difficoltà è invece connessa alla regolazione del conflitto comunicativo. In ogni confronto sono infatti in gioco anche le modalità relazionali, che possono ostacolare il buon esito del conflitto qualora uno dei partner risponda basandosi sulle regole sociali della compiacenza, del conformismo o dell’accettazione acritica dell’altrui soluzione.

Ulteriori studi hanno approfondito i meccanismi attraverso i quali avviene la costruzione delle abilità cognitive. Sperimentalmente è stato dimostrato che la condizione più efficace, per risolvere in modo positivo problemi complessi, nei quali sono in gioco più variabili, è dare la possibilità agli studenti di lavorare insieme, sia nella fase di scoperta, sia in quella di applicazione delle soluzioni, invitandoli esplicitamente alla messa in comune e alla discussione delle diverse proposte.