Toccare per vedere: l'apprendimento della geometria tra occhi e mani

Revisionato il 26/10/2026

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Esperienze concrete per l'apprendimento della geometria: scopri la matematica nella vita di tutti i giorni attraverso tocco e visione, integrando sapere e saper fare.

…continua

98 pagine

Geometria

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Estratto del documento

Università degli Studi di Milano-Bicocca

Facoltà di Scienze della Formazione

Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria

Toccare per vedere.

L’apprendimento della geometria

Con gli occhi e con le mani.

Relatore: Dott.ssa Marina Cazzola

Correlatore: Dott.ssa Ornella Mandelli Tesi di Laurea di:

Alessandra Reggi

Matricola 057782

Anno Accademico 2005-2006

Ringraziamenti

Ringrazio la mia famiglia, perché nei momenti di difficoltà mi ha sostenuto e incoraggiato.

Grazie a Emanuele per come mi è stato accanto (nonostante tutto).

Grazie ad Alessandra, Annamaria, Chiara, Chiara, Chiara, Cristina, Elena, Frà, Laura, Lorena,

Mary, Michele, Paola per il loro aiuto e per come hanno saputo aspettare.

Grazie ad Annamaria, Chiara, Donata e Francesca che hanno reso più ricchi e piacevoli questi

anni di università.

Grazie alla prof.ssa Cazzola e alla dott.ssa Mandelli per la disponibilità e la professionalità con

cui mi hanno guidato nella realizzazione di questa relazione finale.

Grazie alle maestre Monica e Mariagrazia e ai bambini della 2^B perché mi hanno mostrato

come potrebbe essere bello il cammino che ho davanti.

Indice

Introduzione ..................................................................................... pag. 5

Capitolo 1. Percezione e simmetria ................................... » 7

1.1 La percezione: teoria e modelli ..................................... 7

1.2 Lo sviluppo percettivo ................................................... 11

1.2.1 La percezione nell’infanzia .............................................. 11

1.2.2 La percezione nella fanciullezza ...................................... 14

1.2.3 Conclusioni ...................................................................... 15

1.3 Il senso dell’ordine .......................................................... 16

1.3.1 La percezione della simmetria ......................................... 17

1.3.2 Simmetria e asimmetria..................................................... 17

1.4 La simmetria ..................................................................... 19

1.4.1 Un modulo che si ripete .................................................... 19

1.4.2 Diversi tipi di simmetria.................................................... 21

1.4.3 Modelli concreti per parlare di simmetria ......................... 23

Capitolo 2. La metodologia ..................................................... » 26

2.1 L’alunno come soggetto attivo nell’apprendimento........ 27

2.1.1 Dewey e il discente attivo ................................................. 27

2.1.2 Piaget e la costruzione attiva del sapere ........................... 29

2.2 Il ruolo dell’insegnante .................................................... 32

2.2.1 Vygotskij e la .................... 32

Zona di Sviluppo Prossimale 34

2.2.2 Feuerstein e la mediazione dell’apprendimento............... »

2.3 L’apprendimento cooperativo.......................................... 36

2.3.1 Alcune basi teoriche.......................................................... 37

2.3.2 Il lavoro di gruppo: vantaggi e problemi........................... 38

» 40

2.3.3 Organizzare il lavoro di gruppo ........................................ »

Capitolo 3. Il contesto................................................................ » 43

3.1 La scuola ........................................................................... 43

3.2 La classe............................................................................ 44

3.3 Progetto e obiettivi............................................................ 46

Capitolo 4. Il percorso................................................................ » 49

4.1 Per iniziare ........................................................................ 51

4.2 Dalla realtà alle immagini del reale.................................. 53

4.2.1 1^ attività – Una foglia e un’arancia ................................ 53

4.2.2 2^ attività – Dall’oggetto alla sua impronta ...................... 55

4.2.3 3^ attività – La linea magica ............................................. 56

4.2.4 4^ attività – Assi di simmetria visibili e invisibili ............ 59

4.2.5 5^ attività – La realizzazione di figure simmetriche ......... 65

4.2.6 6^ attività – Alla ricerca degli assi di simmetria ............... 69

4.2.7 7^ attività – Alla ricerca delle rotazioni ............................ 77

4.3 Dalle immagini del reale alle figure geometriche ............ 83

4.3.1 8^ attività – La verifica con i segnali stradali ................... 83

4.3.2 9^ attività – La simmetria delle figure geometriche ......... 87

4.4 Dalle figure geometriche alla realtà ................................. 91

Conclusioni .......................................................................................... » 92

Bibliografia......................................................................................... » 97

Introduzione

“Dov’è la matematica? Dove la si può concretamente incontrare? Nei libri, difficili, spesso

incomprensibili ai più, che le sono dedicati? Nelle teste più brillanti che li hanno pensati? Nelle

realizzazioni più strabilianti che ne sono derivate?[…] La sua presenza è in realtà percepibile

dentro la nostra vita di tutti i giorni, dentro le nostre città e le nostre case.”

La geometria, come la matematica, non è una disciplina chiusa nelle regole di un libro, ma è

percepibile nella realtà quotidiana; il punto di partenza del suo insegnamento diventa dunque

l’esperienza concreta. Occorre che conoscenze e abilità non risultino imposizioni formali ma,

attraverso l’integrazione del sapere con il saper fare, rappresentino vere conquiste intellettuali.

Invitare a scoprire la geometria nell’esperienza di tutti i giorni (nella natura, negli oggetti, nelle

composizioni architettoniche, nell’arte) significa pensare a percorsi dai contenuti adeguati,

realizzati in contesti efficaci, presentati con un linguaggio adatto, integrati con il contributo di

altre discipline e, in particolare, sostenuti dall’idea che non si impara geometria se non si fa

geometria.

La mia esperienza di tirocinio è stata guidata dal desiderio di presentare fatti e situazioni

geometricamente ricche perché fossero i bambini stessi a costruire il concetto di simmetria su cui

il percorso verteva.

La realtà voleva essere punto di partenza e punto di arrivo, perché i bambini, dopo aver operato

con oggetti concreti, immagini e figure geometriche, tornassero a riconoscere il concetto astratto

nel loro mondo. Mentre i libri di testo il più delle volte affrontano la simmetria richiedendo

all’alunno di completare figure su un piano quadrettato dove è tracciato unicamente l’asse

verticale, il percorso voleva tentare di comunicare che la simmetria è intorno a noi: tutto dipende

da come e cosa si vuole guardare! La simmetria non è solo in un disegno di una farfalla stilizzata

e un po’ squadrata sul libro, ma la si scopre in una collina che si rispecchia in un lago immobile,

nella piuma colorata di un pavone, nel cerchione dell’auto del papà.

Il percorso voleva anche diventare occasione per rispondere ad alcune domande relative a come i

bambini percepiscono la simmetria. Per questo si è pensato di sfruttare le potenzialità offerte

dalla comunicazione per immagini derivanti dalla loro grande varietà e dal potere di

coinvolgimento: esse spiazzano, richiamano il vissuto di ognuno di noi, alludono e rinviano ad

altro, affascinano (non sono forse belle le immagini geometriche? E non c’è forse geometria

nelle immagini belle?).

1 BERTOLINI M. et al., Springer-Verlag, Milano 2004, p.VII.

Matemilano. Percorsi matematici in città,

Alcune domande hanno guidato la scelta delle diverse immagini su cui i bambini avrebbero

lavorato per estrapolare il concetto di simmetria le cui risposte, un domani, potrebbero essere

utili per chi vorrà progettare un percorso didattico simile.

È vero, come affermano alcune ricerche in campo psicologico, che i bambini percepiscono con più facilità la simmetria verticale?
Nella ricerca della simmetria i bambini considerano il colore?
È più facile riconoscere la simmetria in figure geometriche perfette o in immagini reali non precise?
Nella scoperta della simmetria si osserva la figura nella sua globalità o vengono presi in considerazione i particolari?
Uno sfondo non neutro confonde la ricerca della simmetria della figura in primo piano?
Come si comporta un bambino di fronte ad immagini che possiedono innumerevoli simmetrie? E ad immagini che non hanno alcuna simmetria?

Dal punto di vista metodologico si voleva utilizzare una didattica di tipo attivo, che avrebbe

previsto la partecipazione in prima persona di tutti gli alunni in quanto soggetti attivi e costruttori

delle proprie conoscenze. Chiedere ai bambini di mettersi in gioco concretamente con oggetti

significativi dal punto di vista geometrico, di lavorare in gruppo e di partecipare ai momenti di

discussione che avrebbero seguito le attività proposte, significava anche voler coinvolgere e

motivare all’apprendimento. Io e l’insegnante abbiamo ricoperto più ruoli: quello di osservatore

che annota le frasi più significative dei bambini, in modo da sviluppare successivamente la

discussione in classe e intervenire, se necessario, con domande-stimolo per superare eventuali

momenti di di mediatore che potenzia le conoscenze possedute dal bambino

empasse;

arricchendole di nuovi concetti; di regolatore che guida la comunicazione e le relazioni; di

facilitatore che rende significativo l'apprendimento. L’obiettivo era trasformare la classe in un

laboratorio dove alunni e docenti facessero esperienza concreta di geometria guidando i bambini

senza fornire nozioni o soluzioni pronte e aiutandoli a porsi in un atteggiamento di ricerca per

abituarsi a ragionare, a sperimentare e a costruire un sapere comune e condiviso.

Capitolo primo

Percezione e simmetria

1.1 La percezione: teorie e modelli

Gli stimoli esterni agiscono sui vari organi di senso per inviare informazioni nervose al cervello.

Gli individui, però, non hanno a che fare con sensazioni isolate, ma con percezioni: essi vedono

oggetti e persone nella loro totalità e identità, ascoltano parole e musica dotati di significato, e

così via. La percezione non è una risposta passiva e frammentata, ma una organizzazione

immediata, dinamica e significativa dei dati della realtà. Essa ci permette di segmentare il flusso

continuo dell’esperienza classificando i diversi elementi secondo le loro proprietà e relazioni.

La percezione costituisce quindi il primo passo verso la conoscenza e l’interpretazione del

mondo; è questo il motivo per cui filosofi, psicologi e fisici l’hanno studiata con grande

interesse.

Vengono qui di seguito presentati modelli e teorie della percezione che sono stati elaborati nel

corso del tempo.

La percezione riguarda tutti i sensi, ma le teorie che esamineremo in questo paragrafo e le

ricerche sullo sviluppo percettivo in quello seguente avranno per oggetto la percezione visiva. La

visione, oltre ad essere stata studiata molto più approfonditamente di qualunque altro sistema

percettivo, risulta essere un elemento significativo nella tesi che andrò ad esporre nei prossimi

capitoli. Gli innatisti ritenevano impossibile che Dio avesse creato gli uomini privi di qualsiasi

Innatismo.

sapere e che la conoscenza potesse essere acquisita solo per apprendimento. Filosofi come

(1596-1659) e (1724-1804) credevano che gli esseri umani fossero dotati fin

Descartes Kant

dalla nascita di alcune categorie di conoscenza in grado di garantire il funzionamento percettivo.

La mente, in modo naturale e fin dagli inizi della vita, impone un ordine agli input sensoriali,

trasformando così le sensazioni in percezioni dotate di significato. Le categorie percettive

relative alla grandezza, alla forma, alla posizione e al movimento, oltre che quelle più astratte di

spazio e tempo, sono innate, così che il bambino e l’adulto, avendo in comune molte capacità

percettive, percepiscono il mondo nello stesso modo.

Gli empiristi come (1632-1704) affermano che alla nascita non c’è alcun

Empirismo. Locke

sapere innato, che tutta la conoscenza avviene attraverso i sensi e che lo sviluppo percettivo

procede mediante esperienza associativa. Secondo (1821-1894) le ripetute esperienze

Helmholtz

con la realtà fisica e l’apprendimento che ne deriva forniscono un contributo essenziale alla

percezione degli oggetti. Gli stimoli del mondo esterno danno origine ad un mosaico di

sensazioni elementari che vengono integrate con altre informazioni e sintetizzate in percezioni

dotate di significato grazie a meccanismi di associazione sulla base dell’esperienza passata.

Secondo la convinzione empirista il bambino, ancora privo di esperienza, non condivide il

mondo percettivo dell’adulto esperto. Crescendo egli compie processi di associazione sempre più

rapidi e quasi automatici passando così dall’essere percettivamente ingenuo a essere

percettivamente competente: si tratta quindi di una posizione intrinsecamente evolutiva.

Il modo in cui organizziamo l’input visivo in figure e forme

riconoscibili fu al centro degli interessi di un gruppo di psicologi, tra cui (1880-

Wertheimer

1943) e (1886-1941), che fondarono la scuola psicologica della Gestalt. Essi si

Koffka

opponevano al principio che riconosceva l’esperienza passata come influente sui processi di

organizzazione del campo percettivo e sostenevano che la percezione non è preceduta da

sensazioni, ma è un fatto primario e immediato; essa non è dovuta a fattori esterni come le

associazioni, ma risulta dalla dinamica interna che si viene a creare fra le diverse componenti di

uno stimolo. Come un campo di forze elettromagnetico, così il campo percettivo si auto-

organizza attraverso la distribuzione dinamica di forze, di relazioni reciproche e interazioni. In

virtù di questo processo di organizzazione intrinseca regolato da alcuni principi di unificazione,

le parti del campo percettivo vengono a costituire totalità coerenti e configurazioni strutturate,

come figure sullo sfondo o come oggetti distinti con le loro proprietà e relazioni evidenti. I

principi di unificazione formulati e proposti dagli stessi gestaltisti (quali il principio della

vicinanza, della somiglianza, della continuità di direzione, della chiusura) possono essere

unificati sotto un’unica legge di organizzazione detta “legge della pregnanza” che Koffka

enunciò nei termini seguenti: «Delle diverse organizzazioni geometricamente possibili, si

realizzerà effettivamente quella che ha la forma migliore, più semplice e più stabile».

Si tratta di un movimento sorto negli Stati Uniti dopo la seconda

Guerra Mondiale secondo cui l’organizzazione del mondo percettivo dipende non solo da fattori

percettivi, ma anche dai bisogni, dagli stati emotivi, dalle aspettative, dalle motivazioni. Bruner

(1915 - vivente), per esempio, verificò che a parità di tutte le altre condizioni, i bambini poveri

valutavano come più grande la moneta da mezzo dollaro rispetto a un disco di cartone delle

stesse dimensioni; questo fenomeno non si verificava per i bambini più ricchi. Il soggetto che

percepisce uno stimolo, dunque, compie un’azione di categorizzazione dello stesso a partire da

alcuni indizi. Secondo (1904-1979) la percezione è un processo diretto

perché le informazioni percettive sono già contenute nella stimolazione e sono abbastanza

dettagliate da rendere possibile il riconoscimento senza che intervengano processi cognitivi

superiori. Oltre ad essere in grado di localizzare spazialmente gli oggetti, sappiamo anche dare

loro un significato in quanto la percezione visiva non avviene nel vuoto, essendo sempre inseriti

all’interno di un contesto che ci offre informazioni circa la situazione fisica, lo stato psicologico

e lo stato fisiologico. In altri termini la percezione non è caotica o indeterminata, ma offre un

ordine intrinseco dato dalla combinazione dei nostri stati fisici e psicologici con gli stimoli stessi.

Il soggetto deve solo cogliere questi indizi già presenti nello stimolo sensoriale e nell’ambiente

circostante, senza che ci sia il bisogno di rielaborarle attraverso un processo costruttivo o

integrarle con apporti di altre fonti.

I costruttivisti moderni osservano che gli stimoli che riceviamo

dall’ambiente sono spesso ambigui e non sempre siamo in grado di interpretarli in modo

evidente. Essi, quindi, condividono l’idea che la percezione è un processo attivo e costruttivo,

che va oltre l’immediata registrazione delle sensazioni, ed emerge indirettamente come prodotto

finale dell’interazione tra lo stimolo, da un lato, e le aspettative, le ipotesi, le conoscenze

dell’osservatore, dall’altro. Essendo influenzata da fattori individuali, tra cui anche motivazioni

ed emozioni, a volte potranno esserci errori e quindi percezioni sbagliate.

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