Trasformazioni geometriche: un'opportunità trascurata nella scuola italiana?

Trasformazioni geometriche

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Trasformazioni geometriche

Introduzione

I concetti relativi alla cosiddetta geometria delle trasformazioni sono argomenti ancora poco affrontati nella realtà della scuola italiana, anche se ad essi si fa esplicito riferimento in tutti quei programmi che sono stati fino ad oggi riformati, ad ogni livello di scolarità.

Attività sulle trasformazioni geometriche sono infatti previste negli attuali programmi di tutti gli ordini di scuola, ma sono spesso trascurate o addirittura assenti nella pratica quotidiana. Forse per mancanza di esperienza, forse per mancanza di tempo, sta di fatto che gli argomenti legati a questo tema non hanno ancora trovato il loro spazio.

Nei programmi del biennio, in particolare, il discorso sulle trasformazioni non è opzionale e soprattutto esse vanno integrate nella trattazione della geometria e non pensate come appendice. Integrare vuol dire individuare obiettivi comuni a più soggetti e usare le potenzialità degli uni e degli altri nel perseguirli.

Un concetto portante nei programmi del biennio è quello di funzione o più in generale di corrispondenza. Le trasformazioni costituiscono uno strumento utilissimo per mettere a fuoco tale concetto integrandone la visione analitica.

Non sempre però la trattazione che si trova nei libri di testo favorisce tale processo, poiché accade spesso che lo studio delle trasformazioni venga visto semplicemente come lo studio delle trasformate delle figure.

In tal modo, sempre a discapito dell’acquisizione del concetto di trasformazioni come corrispondenza, non si sottolinea la loro specificità di studiare il piano non localmente ma nella sua globalità.

Infatti, mentre nella vita quotidiana se un oggetto viene trasformato in un altro il resto del mondo può non essere soggetto alla stessa trasformazione, quando si considera una trasformazione del piano come corrispondenza si intende che essa agisce su ogni punto del piano nella stessa maniera con cui agisce su ciascun punto di una sua figura.

Le riflessioni precedenti suggeriscono delle domande:

• Perché proprio le trasformazioni così “neglette”?
• È vero che “le trasformazioni sono un argomento difficile e astratto, proponibile solo a studenti molto dotati”?
• È possibile studiare le trasformazioni a partire dalla realtà?
• È possibile studiare le trasformazioni con l'aiuto di materiale didattico?

1 A cura di Annamaria Viceconte docente a tempo indeterminato di Matematica e Fisica presso il Liceo Classico “Marco Terenzio Varrone” di Rieti – Dottoranda in Astrofisica Computazionale presso l’Università di Teramo;

Maria Teresa Perotti docente a tempo indeterminato di Matematica e Fisica presso il Liceo Classico “Marco Terenzio Varrone” di Rieti.

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Trasformazioni del piano e dello spazio al livello intuitivo

L’osservazione della realtà nell’organizzare lo studio delle trasformazioni nel biennio.

Un importante criterio metodologico al quale far costantemente riferimento per la progettazione di attività di geometria in generale e riguardo la geometria delle trasformazioni in particolare, consiste nel cogliere inizialmente le sollecitazioni e gli esempi che provengono dalla osservazione della realtà fisica.

Sarebbe infatti oltremodo riduttivo limitare l’apprendimento in questo settore della matematica alla semplice memorizzazione della nomenclatura tradizionale e delle formule … È invece opportuno che la costruzione di un quadro organico dei concetti geometrici scaturisca da un atteggiamento di ricerca e di osservazione della realtà per individuare le caratteristiche geometriche degli oggetti e i cambiamenti che questi possono subire nello spazio e nel tempo.

Opportuni sono anche la realizzazione di attività legate alla manualità (la piegatura della carta o la costruzione di modelli concreti di oggetti…) utilizzando anche materiale cosiddetto “povero” e l’uso di materiale strutturato (la tela elastica…) che offre la possibilità di realizzare trasformazioni in modo continuo (come è suggerito dallo schema seguente).

Tela elastica Cartoncino bianco

+ +

Foglio trasparente

Foglio trasparente

Equazioni di Equazioni di Equazioni di

dilatazioni lungo simmetrie rispetto traslazioni lungo

gli assi cartesiani agli assi cartesiani gli assi cartesiani

Software didattico

L'approccio attraverso il materiale

• Stimola l'attenzione
• Stimola la creatività
• Stimola la collaborazione e il lavoro di gruppo
• Favorisce la memorizzazione di proprietà e di risultati
• Favorisce un autonomo processo di astrazione.

Attività 1.

Dilatazioni lungo gli assi cartesiani: osservazione di figure

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Materiale per osservare che cosa varia e che cosa non varia

• Tela elastica con disegnato un rettangolo
• Tela elastica con disegnato un cerchio

Osservazioni

Dilatare la tela e osservare le nuove figure ottenute:

1. Sul rettangolo

• La figura ha ancora gli angoli retti?
• La figura ha mantenuto i lati della stessa lunghezza?
• La figura ha ancora i lati paralleli?
• La figura ha ancora i lati rettilinei?
• Se disegnassi il rettangolo con i lati paralleli al “bordo della tela”, che figura otterrei? Disegnare la figura prevista.

2. Sul cerchio

• La figura è ancora un cerchio?
• La figura ha mantenuto tutti i raggi della stessa lunghezza?
• I diametri rimangono rettilinei?

Attività 2.

Equazioni di dilatazioni lungo gli assi cartesiani

Materiale

Tela elastica: piano variabile Oxy, sul quale sono fissati dei punti (A e B)

Foglio trasparente: piano fisso O'x'y', che “conserva la memoria della situazione iniziale”

Osservazioni

Sovrapporre il piano trasparente alla tela elastica e, curando di mantenere la sovrapposizione degli assi cartesiani, dilatare la tela nella direzione di uno degli assi cartesiani.

Dopo la dilatazione, leggere le coordinate di un punto:

• A. Sul piano cartesiano fisso (O'x'y')
• B. Sul piano cartesiano dilatato (Oxy)

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Attività 3.

Isometrie (traslazioni)

Materiale

Cartoncino: sul quale è disegnato il riferimento O’x’y’

Foglio trasparente: sul quale è disegnato il riferimento Oxy e sono indicati dei punti (A, B)

Fogli trasparenti: sui quali sono disegnate figure geometriche con assi di simmetria.

Cartoncino bianco, fogli trasparenti, pennarelli.

Attività 4.

Isometrie (simmetrie assiali)

Materiale

Cartoncino bianco, pennarelli, forbici

Osservazioni

Piegare il cartoncino in due parti uguali e disegnare il contorno di una figura; ritagliare il contorno disegnato e aprire il cartoncino.

Si farà osservare che, rispetto alla piegatura del foglio le due metà differiscono soltanto per l’orientamento dei punti: per percorrere il contorno della mezza figura a sinistra dall’alto in basso si segue il verso antiorario, per percorrere invece il contorno della metà rimanente, sempre dall’alto in basso, si segue il verso orario.

Le due mezze figure sono simmetriche rispetto alla linea corrispondente alla piegatura del foglio e tale linea costituisce l’asse di simmetria.

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Esempi di trasformazioni di figure piane o solide nella vita quotidiana

Nella vita quotidiana abbiamo molti esempi di trasformazioni piane e solide.

Esempi comunissimi sono costituiti dalle deformazioni che subiscono i corpi elastici: si pensi alla deformazione che subisce una gomma per cancellare quando viene piegata o ad un taglio di stoffa stretch che viene deformato senza che si verifichino lacerazioni o sovrapposizioni.

Il concetto di trasformazione geometrica è poi essenziale in tutti i processi di rappresentazione piana di un oggetto tridimensionale.

Semplici esempi sono forniti al riguardo dal disegno “dal vero” o dalla fotografia che costituiscono la rappresentazione in due dimensioni di un oggetto tridimensionale.

Altro esempio è dato dalle carte geografiche la cui realizzazione è legata al problema di rappresentare su un piano una parte di superficie sferica.

La parte di superficie terrestre che si rappresenta viene trasformata poiché ogni suo punto dovrà essere proiettato sul foglio di carta.

Un altro esempio comune di trasformazione dovuta alla rappresentazione su una superficie di oggetti tridimensionali è l’immagine riflessa in uno specchio: si ottengono trasformazioni diverse a seconda che lo specchio sia piano, convesso con curvatura in orizzontale oppure convesso con curvatura in verticale.