Didattica per problemi in geometria: Forme, misure e costruzioni per un'apprendimento attivo e interattivo

Università degli studi di Milano - Bicocca

Facoltà di Scienze della Formazione

Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria

Forme, misure e costruzioni:

Perché una didattica per

problemi in geometria?

Relatore: Dott.ssa Marina Cazzola

Correlatore: Dott.ssa Lidia Chiesa

Relazione finale di:

Laura Bassani

Matr. n. 066226

Anno Accademico 2007-2008

Indice

Pag. 1

Introduzione

Capitolo 1 - Le motivazioni alla base del percorso

1.1 Introduzione Pag. 3

1.2 Perché un percorso di matematica? Pag. 4

1.3 Perché una didattica per problemi? Pag. 9

1.4 Perché un test? Pag. 16

Capitolo 2 - La ricostruzione del percorso

2.1 Introduzione Pag. 20

2.2 Il contesto scolastico Pag. 21

2.3 Una breve ricostruzione del percorso Pag. 28

2.4 Uno sguardo alle attività Pag. 35

2.4.1 Lo schema delle attività Pag. 36

2.4.2 Il test iniziale Pag. 39

2.4.3 Il primo problema: “Il contadino Johnny” Pag. 46

2.4.4 La misurazione del perimetro di ambienti ed oggetti reali Pag. 50

2.4.5 Il secondo problema: “Il circuito di Formula Uno” Pag. 53

2.4.6 Il terzo problema: “Quanta erba per la mucca Viola!” Pag. 58

2.4.7 La costruzione di figure con il cartoncino Pag. 66

2.4.8 Il quarto problema: “Un nuovo pavimento” Pag. 71

2.4.9 Il quinto problema: “Taglia e ritaglia” Pag. 77

2.4.10 La costruzione delle formule per il calcolo dell’area Pag. 82

2.4.11 Il test finale Pag. 87

Capitolo 3 - Riflessioni conclusive Pag. 94

3.1 Introduzione Pag. 94

3.2 Uno sguardo critico al percorso Pag. 97

3.3 I risultati raggiunti Pag. 106

3.4 I vantaggi dell’uso di una didattica per problemi Pag. 107

Bibliografia

Introduzione

Il lavoro intende esaminare l’esperienza didattica realizzata in prima persona nella classe 5A della scuola primaria “Bonetti” in via Tajani 12, a Milano, in occasione del tirocinio finale previsto per il corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria.

L’intento è mostrare quali siano i risultati conseguibili in una classe dove l’insegnante decide di adottare un approccio socio-costruttivista, ovvero propone attività che consentano la costruzione degli apprendimenti da parte dei bambini, riconosciuti come individui attivi e competenti e inseriti in un contesto sociale e culturale interattivo. Più in particolare l’interesse si focalizza sui vantaggi che si possono riscontrare conducendo un percorso geometrico imperniato sulla didattica per problemi, che fa quindi del problema il suo elemento cardine.

La relazione si suddivide in tre capitoli, che forniscono dati ed informazioni per sostenere la tesi secondo cui questa modalità di procedere a scuola è valida, in quanto supportata sia dagli studi e le ricerche teoriche sia dalla pratica didattica. I risultati conseguibili non si esauriscono nell’acquisizione di conoscenze e competenze disciplinari, ma vanno anche a toccare aspetti come l’interesse, la motivazione, la capacità di lavorare in gruppo, lo sviluppo dei processi cognitivi e metacognitivi, il superamento di convinzioni ed immagini stereotipate.

Il primo capitolo fornisce le fondamenta teoriche del percorso e riporta le motivazioni che sono state alla base di tutte le scelte realizzate nella pratica.

Qui si riflette innanzitutto su come l’interesse personale unito alla volontà di far emergere un’autentica idea di matematica, superando convinzioni ed immagini stereotipate diffuse, mi abbiano portato ad occuparmi di questa disciplina. Quindi si tratta l’importanza del problema nella matematica, andando ad analizzare i fondamenti di quell’approccio didattico noto in ambito internazionale come Problem-Based Learning e traducibile in italiano come didattica per problemi. Infine si spiegano le ragioni dell’uso di uno strumento di valutazione come il test, che è stato utile per confrontare i risultati emersi nella classe che ha seguito il percorso con quelli registrati da altre classi di controllo. 1

Il secondo capitolo si cala più nella pratica e ricostruisce gli aspetti più importanti del percorso. Lo scopo di questa trattazione è duplice: fornire maggior chiarezza al lavoro, avvicinando il lettore a ciò che è stato realizzato in concreto con i bambini, ma anche raccogliere dati significativi per le riflessioni conclusive.

Se in primo luogo ci si preoccupa di contestualizzare il percorso, in un secondo momento si ricostruiscono tutti gli elementi che hanno caratterizzato quest’esperienza di insegnamento-apprendimento: la disciplina, l’approccio metodologico, le modalità comunicative, i tempi, gli spazi e i materiali utilizzati, gli obiettivi di apprendimento, i processi cognitivi attivati nei bambini. Il capitolo procede poi dando uno sguardo più approfondito alle attività svolte: i problemi, i test ed altre esperienze realizzate. Qui ho posto in primo piano il contributo dei bambini, senza i quali nulla avrebbe avuto senso; sono quindi descritte e commentate le modalità con cui questi hanno risposto alle attività: i procedimenti e le strategie attivati, gli interventi realizzati, i risultati conseguiti dai gruppi e dai singoli alunni.

Infine il terzo capitolo tira le fila di tutto il discorso, arrivando a delle riflessioni conclusive che si articolano in tre passaggi. Dapprima è analizzato criticamente il percorso effettuato, evidenziando quelli che a mio parere sono stati i suoi punti di forza e di debolezza; poi sono valutati i risultati raggiunti, ovvero i cambiamenti e i miglioramenti riscontrati nei bambini in seguito alla partecipazione alle attività proposte; infine si tenta una generalizzazione del discorso, integrando i contributi teorici con i dati provenienti dalla pratica ed arrivando a rispondere alla domanda da cui è partito tutto il lavoro: perché una didattica per problemi in geometria? 2

Capitolo 1

Le motivazioni alla base del percorso

1.1 Introduzione

Qualsiasi scelta che possiamo prendere nella vita è dettata, in modo più o meno consapevole, da diverse ragioni. Le ragioni assumono un’importanza fondamentale quando le scelte che si devono operare riguardano il processo di insegnamento-apprendimento: l’adulto deve decidere come promuovere il percorso di crescita e sviluppo di un bambino e non può lasciare nulla al caso.

Le scelte da prendere in un contesto educativo sono innumerevoli ed è l’esperienza sul campo, come quella che ho avuto la possibilità di svolgere, che le rende evidenti. Scelte che oltretutto sono aumentate da quando le scuole hanno acquisito l’autonomia (legge 440/1997) e possono quindi essere più libere di adeguare obiettivi, contenuti, metodologie, attività didattiche alle esigenze dell’utenza, prima di tutto dei bambini con cui ogni insegnante si trova a lavorare.

Questo primo capitolo vuole proprio analizzare le ragioni e le motivazioni che sono state alla base del percorso da me condotto e che hanno influenzato tutte le mie scelte nella pratica didattica.

Le motivazioni sono in parte personali e fanno riferimento ad interessi, esigenze, intenzioni che ho riconosciuto come importanti per la mia formazione. In larga parte però sono motivazioni teoriche che si sono consolidate dopo anni di studio e sono sostenute da libri, ricerche e lavori di vario tipo. Entrambi i tipi di motivazione sono, a mio avviso, fondamentali per chiunque voglia intraprendere la professione dell’insegnante: quelle personali perché si riferiscono ad aspetti intrinseci, al motore del lavoro, a ciò che può dare la forza, la volontà, la passione per andare avanti, anche di fronte alle difficoltà; quelle teoriche perché forniscono delle linee guida, un approccio di riferimento senza il quale si rischierebbe di farsi condurre dall’impeto, dall’interesse del momento e di non mantenere una coerenza nel lavoro svolto con i bambini. 3

Le motivazioni che saranno descritte fanno riferimento a tre grandi aspetti del processo di insegnamento-apprendimento su cui mi sono soffermata a riflettere: l’ambito disciplinare, l’approccio metodologico e la valutazione.

Si tratta delle idee generali che mi hanno guidata nella fase iniziale di ideazione del progetto e a cui ho fatto sempre riferimento anche durante il lavoro. Sono punti fermi da cui sono potuta partire per effettuare tutte le altre scelte che mi si ponevano davanti nella pratica, dove ho lavorato per adeguare il percorso alla realtà scolastica in cui mi sono trovata ad operare (cfr. cap. 2).

1.2 Perché un percorso di matematica?

Volendo spiegare perché ho scelto di occuparmi dell’ambito disciplinare della matematica, credo che la prima ragione da citare sia l’interesse personale. Ho un’attrazione per questa disciplina fin da quando ho iniziato a frequentare la scuola, mi è sempre piaciuta ed ho sempre ottenuto ottimi risultati. Tutto questo nonostante sia stata spesso circondata da pari che non condividevano il mio punto di vista, che non riuscivano a comprendere il mio entusiasmo, che avevano una visione negativa della materia e delle esperienze ad essa collegate.

L’interesse per l’apprendimento in prima persona si è integrato, con l’iscrizione al corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, con l’interesse per il far apprendere ad altri, in particolare ai bambini. Ciò che mi affascina è la possibilità di accompagnare altre persone nel percorso di crescita, costruendo con loro conoscenze e competenze utili per la vita.

Tuttavia, alla luce delle mie esperienze pregresse ho realizzato che il mio entusiasmo, la mia voglia di fare e far imparare incontreranno sempre degli ostacoli finché la maggior parte degli studenti rimarrà ancorata ad una visione negativa della matematica. Una delle motivazioni del mio lavoro è stata quindi fare chiarezza sulla questione per me stessa, per gli altri attori coinvolti nel percorso, bambini e insegnanti, infine per chiunque è entrato ed entrerà in contatto con questo scritto. Uno degli obiettivi è diventato capire cosa sia realmente la matematica, smontando gli stereotipi che si costruiscono a partire dalle primissime esperienze scolastiche. 4

Innanzitutto questa visione negativa è confermata da diversi studi, che hanno rilevato negli studenti la presenza diffusa di convinzioni tipiche ed immagini stereotipate della matematica.

Cazzola (2007) ad esempio ne cita alcune piuttosto diffuse: “i problemi di matematica hanno sempre una e una sola risposta giusta; c’è sempre un solo modo di risolvere un problema di matematica (…); gli studenti normali non possono aspettarsi di andare bene in matematica, possono solo memorizzare e applicare meccanicamente alcune formule, senza capirle; la matematica si studia da soli; gli studenti che hanno capito la matematica sono in grado di risolvere in cinque minuti (…) un qualsiasi problema che venga loro assegnato; la matematica che si insegna a scuola il più delle volte non ha niente a che vedere con la realtà; le dimostrazioni non sono necessarie”.

Anche Bertazzoni e Marchini in una ricerca condotta su classi quinte di scuola primaria (2006) rilevano che, prima del loro intervento, “quasi il 70% degli alunni interpreta la parola ‘problema’ in relazione alla propria vita privata e, in generale, con una connotazione negativa”. Inoltre tra le convinzioni diffuse nella maggior parte dei bambini si trovano quelle per cui “I problemi di matematica sono caratterizzati dalla presenza di simboli matematici (i numeri)” e “I trucchi non sono indispensabili”.

Zan (1998, pp. 27-64), riportando i risultati di una ricerca precedentemente condotta, afferma: “Nel corso della scuola elementare i bambini elaborano due modelli concettuali distinti e indipendenti di problema reale e di problema scolastico.”

Gli elementi che si delineano come caratteristici del problema scolastico sono “una struttura linguistica formale, caratterizzata da un testo in cui sono presenti numeri” e “la necessità di eseguire operazioni”. La centralità di numeri ed operazioni porta quasi tutti i bambini ad identificare il problema scolastico con un problema di tipo aritmetico.

Il problema reale ha invece nell’immaginario dei bambini diversi significati, legati a circostanze della vita quotidiana: guaio/incidente/disgrazia, situazione di disagio, dubbio/incertezza/mancanza di conoscenza. I diversi modelli “tendono poi con l’età ad unificarsi in una struttura più generale e stabile (…), in cui viene evidenziato un obiettivo e delle difficoltà a raggiungerlo.”

I bambini identificano quindi con i problemi reali le vere situazioni problematiche che ci si pongono davanti nella vita e che richiedono di attivare delle strategie per superare le difficoltà, mentre i problemi scolastici sono per loro degli esercizi espressi verbalmente, in cui ciò che devono fare è legare i numeri presenti con delle operazioni.

Queste convinzioni ed immagini stereotipate non riguardano solo gli studenti, ma sono talmente diffuse nella società da essere presenti addirittura nelle ricerche sui risultati dell’insegnamento della matematica. A questo proposito Cazzola (2003) ne cita alcune: “la matematica è intesa soprattutto (…) come una educazione al corretto ragionamento, come un avvicinamento alle leggi e alle forme di organizzazione del pensiero (…); l’attinenza della matematica con i problemi della vita reale è (…) in generale vissuta come troppo difficile da far toccare con mano agli studenti (…); la matematica è un’attività ‘privata’ (…), che non risente né delle determinazioni di tempo o di spazio né del contesto sociale”.

L’immagine di matematica che emerge dalle ricerche sul campo è quindi quella di una disciplina piatta, stabile, fatta di regole, leggi e formule prestabilite da imparare a memoria; una disciplina astratta, che non si collega alla realtà; una disciplina difficile, che solo i “più bravi” possono comprendere; una disciplina che si affronta individualmente, come attività privata.

I problemi scolastici, invece, secondo le convinzioni diffuse non hanno nulla a che vedere con quelli reali, di cui ripropongono in modo schematico e stereotipato solo alcune situazioni. I problemi matematici sono legati alla presenza di un testo con delle caratteristiche formali, in particolare dati numerici tra cui fare operazioni. Inoltre hanno quasi sempre un’unica soluzione e un solo modo possibile per arrivarci; in essi il risultato è ritenuto più importante rispetto ai ragionamenti, alle dimostrazioni o alle strategie attivate.

Gli stessi studi hanno rilevato che esiste una correlazione tra le convinzioni, le credenze, le rappresentazioni soggettive e i risultati conseguiti nella disciplina.

Infatti le convinzioni, non solo sulla matematica ma anche sulla scuola, sull’apprendimento e sul sé, “non solo fanno da guida potente ai processi di controllo che caratterizzano l’attività di problem solving, ma sono profondamente legate anche ad aspetti affettivo-motivazionali quali le emozioni e gli atteggiamenti.” (Zan, 1998) Le convinzioni sono quindi in grado di influenzare sia i processi cognitivi, le modalità di pensare e di risolvere i problemi sia l’atteggiamento nei confronti della matematica, gli interessi e la motivazione ad apprendere. Tutti questi aspetti sono fondamentali per il successo scolastico e la buona riuscita in qualsiasi disciplina. Si è constatato infatti che “la prestazione di un soggetto in matematica sia influenzata da una serie di fattori (…). Le convinzioni in particolare hanno un ruolo estremamente significativo di ‘ponte’ fra aspetti cognitivi, metacognitivi, affettivi.” (Zan, 1998)

Chiariti questi aspetti, diventa ancora più importante affrontare le convinzioni per superare “l’emergenza educativa e di formazione che riguarda tutto il Paese”, come è stata chiamata dall’ex ministro dell’Istruzione Fioroni in un comunicato stampa del 5 dicembre 2007. 1 L’occasione è stata il commento dei risultati conseguiti dall’Italia nella ricerca internazionale Ocse Pisa 2006; risultati che hanno fatto emergere nel nostro Paese “un acuirsi delle difficoltà nelle scuole medie inferiori e superiori”, per quanto riguarda la lettura, le scienze ed anche la matematica. Le difficoltà ovviamente non si possono imputare solo ai gradi di scuola esaminati ma all’intero sistema scolastico, che insieme contribuisce alla formazione dei soggetti sulle abilità esaminate.

Quindi come afferma Cazzola (2007): “chi vuole portare gli studenti a un buon rendimento in matematica deve preoccuparsi anche di ribaltare queste convinzioni.” E per ribaltare queste convinzioni è necessario diffondere una nuova idea di matematica, che sia più coerente con la natura della disciplina e il modo di lavorare degli esperti in questo settore della conoscenza.

La matematica è nata per rispondere a delle domande sul mondo ed ottenere dei risultati utili per la vita di tutti i giorni: semplificando si potrebbe dire che i numeri sono nati per permettere il conteggio dei capi di bestiame posseduti o che la geometria è nata per permettere la divisione equa dei campi tra i vari contadini. Nulla era predefinito ed ogni risultato è stata una conquista, frutto di ricerche, esplorazioni, scoperte, costruzioni.

Questo modo di procedere ha sempre contraddistinto e contraddistingue tuttora chi si occupa in qualche modo di matematica; i matematici di professione infatti cercano di rispondere a delle domande e di risolvere dei problemi che nascono da esigenze reali.