Continuità e Derivabilità Analisi 1

Continuità e derivabilità

Quando una funzione è continua in un punto (continuità)

Una funzione continua, graficamente, è una funzione che quando viene disegnata non necessita che si “stacchi la mano dal foglio”.

In modo formale si dice che:

\( f(x) = \lim_{{x \to x_0}} f(x) \)

Una funzione è continua in un punto \(x_0\).

Attenzione: stiamo definendo quando una funzione è continua in un punto: una funzione può anche essere in generale non continua ma sarà continua in un suo punto.

Esempi di funzioni continue in un generico punto assegnato

Si dica se la funzione è continua nel punto \(x=5\):

\(y = x^2\)

\(f(x) = \lim_{{x \to 5}} x^2 = 25\)

Poiché si può dire che la funzione \(f(5) = 25\), sarà continua nel punto \(x=5\).

Si dica se la funzione è continua nel punto \(x=3\):

\(y = \log_3(x-2)\)

\(f(x) = \lim_{{x \to 3}} \log_3(x-2) = \log_3 1 = 0\)

Poiché si può dire che la funzione \(f(3) = \log_3 1 = 0\), sarà continua nel punto \(x=3\).

Quando una funzione non è continua in un punto (discontinuità)

Una funzione NON continua, graficamente, è una funzione che quando viene disegnata necessita che si “stacchi la mano dal foglio”.

In modo formale, per logica e in base a quanto detto nel paragrafo di sopra si dice che:

\(\lim_{{x \to x_0}} f(x) \neq f(x_0)\)

Una funzione non è continua in un punto \(x_0\).

In questo caso, in quel punto in cui la funzione non è continua, si avrà un punto di discontinuità, che può essere di tre tipi:

• Punto di discontinuità eliminabile: è un punto di discontinuità eliminabile se \(\lim_{{x \to x_0}} f(x)\) esiste finito ma \(\lim_{{x \to x_0}} f(x) \neq f(x_0)\).
• Punto di discontinuità di prima specie: è un punto di discontinuità di prima specie se \(\lim_{{x \to x_0^-}} f(x)\) e \(\lim_{{x \to x_0^+}} f(x)\) esistono finiti ma diversi tra loro.
• Punto di discontinuità di seconda specie: è un punto di discontinuità di seconda specie se \(\lim_{{x \to x_0^-}} f(x)\) o \(\lim_{{x \to x_0^+}} f(x)\) è infinito.

Esempi di funzioni non continue in un punto con identificazione del tipo di discontinuità

Si dica se la funzione indicata sia continua nel punto \(x=0\). Qualora non fosse continua in quel punto, identificare di che tipo di discontinuità si tratta:

\(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & \text{se } x \neq 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases}\)

Valuto se \(f\) è continua:

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq f(0) = 0\)

Quindi, \(f\) non è continua in \(x=0\).