Compito in classe II liceo scientifico PNI

L. Lecci\Compito 2D\Lunedì 29 marzo 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase

Tempo di lavoro

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI 80 minuti

Argomenti - Geometria: Risoluzione di problemi di secondo grado con applicazione del teorema di Pitagora e dei teoremi di Euclide – Algebra: Equazioni biquadratiche, trinomie e reciproche.

Geometria

Problema 1 (m)

Dato il quadrato ABCD, il cui lato misura l, determinare sui lati AB, BC, CD, DA rispettivamente i punti E, F, G, H in modo che le misure dei segmenti AE, BF, CG, DH siano rispettivamente proporzionali ai numeri 1, ½, 2, 1.

Posto AE = x, risolvere i seguenti quesiti:

1.1 Determinare il valore di x in modo che l’area del quadrilatero EFGH valga 37l²/64. Determinare la misura del perimetro del quadrilatero EFGH.

1.2 Stabilire per quali valori di x il quadrilatero EFGH ha le diagonali congruenti e per i valori trovati determinare la misura delle diagonali.

Problema 2 (m)

Nel trapezio rettangolo ABCD è noto che:

• La diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo;
• Il rapporto tra la misura della base minore e quella dell’altezza è 3/2;
• La misura dell’area è 42√3 cm².

Determinare la misura del perimetro del trapezio.

Algebra

Es_1) (m)

Risolvere le seguenti equazioni

1.1 x² − 5x − 2 = 0;

1.2 8(x² − 3x) − 2(x² − 3x) − 15 = 0

x² − 1

x² − 2

Es_2) (m)

2.1 Dopo aver scritto un’equazione reciproca avente tra le sue radici i seguenti numeri x₁ = 2, x₂ = −1/5, risolverla per verificare la correttezza delle elaborazioni algebriche. Classificare l’equazione scritta.

Scrivere un’equazione reciproca di quarto grado avente tra le sue radici i due numeri

2.2 x₁ = −1/2, x₂ = 1/2. Classificare l’equazione ottenuta.

Es_3) (m)

3.1 Stabilire per quali valori dei parametri h, k, la seguente equazione

(2 − k)x⁴ + (h − 1)x³ + (2k − 1)x² + (h − 3)x = 0

è reciproca e scrivere per i valori trovati le espressioni delle equazioni corrispondenti.

3.2 Nel caso esistano valori dei parametri per i quali l’equazione è reciproca di seconda specie risolvere l’equazione ottenuta.

Autore Luigi Lecci

L. Lecci\Compito 2D\Lunedì 29 marzo 2004 2

Soluzione

Problema 1

Facciamo riferimento alla Fig. 1 nella quale è rappresentato il quadrato ABCD e sono indicati i punti E, F, G, H.

1.1

Poiché i segmenti AE, BF, CG, DH sono proporzionali rispettivamente ai numeri 1, ½, 2, 1, ponendo AE = x si deduce:

AE/BF = x/(x/2) ⇒ BF = l − x/2;

CG/BF = 2x ⇒ FC = l − 2x;

DH/CG = x/2 ⇒ GD = l − 2x;

DH/HA = x ⇒ HA = l − x.

Per determinare il valore della misura x è necessario trovare il valore dell’area del quadrilatero EFGH e porla uguale al valore assegnato 37l²/64. In tal modo si ottiene un’equazione che risolta fornirà i valori di x. L’area del quadrilatero in oggetto è data dalla differenza tra l’area del quadrato ABCD e la somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli EBF, FCG, GDH, HAE.

Limitazioni per i valori di x

Prima di eseguire calcoli algebrici è bene osservare che i valori di x sono accettabili solo se soddisfano le seguenti condizioni:

x ≥ 0, l − x ≥ 0, l − x/2 ≥ 0, l − 2x ≥ 0, che sintetizzate diventano

0 ≤ x ≤ l/2 (*)

Ciò premesso risulta

S₁ = (l − x)x/4 = area del triangolo EBF;

S₂ = (l − 2x)x/2 = area del triangolo FCG;

S₃ = (l − 2x)x/2 = area del triangolo GDH;

S₄ = (l − x)x/2 = area del triangolo HAE,

per cui l’area del quadrilatero EFGH è

S = l² − (S₁ + S₂ + S₃ + S₄) = l² − 9x(l − x)/4.

Imponendo l’uguaglianza richiesta si ricava l’equazione

S = 37l²/64

l² − 9x(l − x)/4 = 37l²/64;