Compito in classe II liceo scientifico PNI

L. Lecci\Compito 2D\Venerdì 27 febbraio 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase

Tempo di lavoro

120 minuti

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI

Argomenti: Geometria: Equivalenza delle figure piane – Algebra: Equazioni di secondo grado – Regola di Cartesio - Equazioni parametriche. Collegamenti alla soluzione

Geometria

Problema_1-Testo Soluzione

Problema_1 Sia ABC un triangolo qualsiasi. Dimostrare le geometria Problema_2-Testo Soluzione

seguenti proposizioni: Problema_3-Testo Soluzione

• 1.1 Una mediana divide il triangolo in due parti equiestese. Problema_4-Testo
• 1.2 Considerata la mediana AM e detto O il suo punto medio, Soluzione

Es_1-Testo

il triangolo AOB è equiesteso alla quarta parte del triangolo ABC. Sol_1.1; Sol_1.2; Sol_1.3

Es_2-Testo

1.3 Le tre mediane dividono il triangolo in sei triangoli equiestesi. Soluzione - Osservazione

Problema_2 Dimostrare che un esagono regolare inscritto in una circonferenza ha estensione doppia del triangolo equilatero inscritto nella stessa circonferenza.

Problema_3 - Considerato un triangolo ABC, descrivere il procedimento che permette di trasformarlo in un triangolo isoscele equiesteso APQ avente AP = ⁴/⁵ AB, con AP contenuto in AB.

Problema_4

Se ABCD e ABEF sono due parallelogrammi che giacciono nello stesso piano da parti opposte rispetto al lato comune AB, dimostrare che il quadrilatero DCEF è equiesteso alla somma dei due parallelogrammi dati.

Algebra

(m) Risolvere le seguenti equazioni

Es_1) ( ) 2 − − = − + + − =

− − = 2 2 2

12 x 4 mx m 0 1.3 x ( a b ) x 2

b ( a b ) 0

2 4 0 1.2

1.1 x

(m) Scrivere un’equazione di secondo grado avente per radici i seguenti numeri

Es_2) 1

= = +

x ; x 3 2 riducendola alla forma normale. Successivamente risolvere

1 2

−

3 2

l’equazione ottenuta.

(m) Nell’equazione di seguito indicata determinare il valore del parametro affinché una delle due radici sia = -1 e, ridotta l’equazione alla forma normale, risolverla per determinare la seconda radice:

Es_3) k

le due radici sia = -1 e, ridotta l’equazione alla forma normale, risolverla per determinare la seconda radice: 4 3 k

= +

− + − −

2

4 x 20 x 25 2 x 5 5 x 2

(m) Considerata l’equazione parametrica

Es_4) + − + − =

2

kx (5 2 k ) x k 3 0

risolvere i quesiti che seguono.

Discutere la realtà ed il segno delle radici al variare del parametro.

• 4.1 Stabilire per quali valori del parametro le radici sono concordi.
• 4.2 k
• 4.3 Stabilire per quale valore del parametro le radici sono reali e la somma dei loro quadrati è

k

5. = +

4.4 Stabilire per quali valori del parametro fra le radici sussiste la relazione e precisare se le stesse sono reali.

k x x 1

1 2

Autore Luigi Lecci

L. Lecci\Compito 2D\Venerdì 27 febbraio 2004 2

Soluzione

Geometria

Problema_1

1.1 In Fig. 1 è rappresentato il triangolo ABC del quale è stata tracciata la mediana AM relativa al lato BC. Occorre provare che i due triangoli AMB, AMC sono equiestesi.

All’uopo basta considerare i due suddetti triangoli sulle rispettive basi MB, MC ed osservare che esse sono congruenti perché M è punto medio tra B e C e che le altezze relative alle stesse in figura coincidono con AH, segmento di perpendicolare condotto dal vertice A al lato BC. I due triangoli, avendo basi congruenti e la stessa altezza relativa, sono equiestesi.

1.2 In Fig. 2 è rappresentato il triangolo di riferimento.

Al fine di dimostrare la tesi basta osservare che con ragionamento analogo a quello svolto nel precedente punto possiamo affermare che il triangolo AOB è equiesteso al triangolo MOB perché OB è mediana del triangolo AMB relativa al lato AM; d’altra parte il triangolo AMB è equiesteso al triangolo AMC e quindi è equiesteso alla metà del triangolo ABC.

⇒

1 1 1 1

⋅

AOB AMB ABC ABC

2 2 2 4

1.3 In Fig. 3 il triangolo ABC è stato scomposto con le mediane AM, BP, CN nei sei triangoli ANG, BNG, BMG, CMG, CPG, APG. Vogliamo provare che essi sono equiestesi. Per la dimostrazione della tesi dobbiamo ricordare che il baricentro G del triangolo divide ciascuna mediana in due segmenti dei quali quello che contiene il vertice è doppio dell’altro, quindi AG = 2GM, BG = 2GP, CG = 2GN.

Ciò premesso osserviamo che:

• I triangoli AGN, GNB, se considerati sulle basi AN, NB, che sono congruenti, risultano avere come altezza il segmento di perpendicolare condotto da G alla retta delle basi, dunque la stessa altezza e perciò sono equiestesi e ciascuno dei due è equiesteso alla metà del triangolo ABG.
• Considerando ora i due triangoli ABG, GBM sulle basi AG, GM, poiché le altezze relative coincidono e AG = 2GM deduciamo che e quindi si ha anche

1

GBM AGB

2.

GBM GNB.

In modo analogo si prova che APG CPG considerati sulle basi congruenti AP, CP e che, ancora dall’essere AG = 2GM, si ha anche

1, dunque.

CMG ACG CMG CPG APG

Infine, considerati i triangoli BMG, CMG sulle basi congruenti