Compito in classe II liceo scientifico PNI

L. Lecci\Compito 2D\Venerdì 28 maggio 2004 1

Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia”

Tricase

Tempo di lavoro

120 minuti

Oggetto: compito in Classe 2D/PNI

Argomenti: Geometria: problema geometrico di secondo grado. Algebra: equazioni reciproche; disequazioni razionali; equazioni irrazionali; sistemi di equazioni di grado superiori al secondo. Informatica: problema sull’utilizzo degli Array.

Soluzione

Geometria

Problema (m)

1) Il trapezio rettangolo ABCD è circoscritto alla semicirconferenza di diametro AB = 2r con AD base minore. È noto che l’area del trapezio è ⁵/₂r². Determinare le misure dei lati ed il perimetro del trapezio.

2) Condotta per il vertice A la retta s parallela al lato obliquo CD, sia P l’ulteriore punto in cui s taglia la semicirconferenza e Q il punto in cui interseca la base BC. Determinare:

• 2.1 Le misure dei segmenti AP, PQ;
• 2.2 Il rapporto tra le aree delle due figure geometriche nelle quali la retta s divide il trapezio ABCD;
• 2.3 L’ampiezza dell’angolo al centro AÔP e la misura del corrispondente arco AP della semicirconferenza, essendo O il centro di questa.

Algebra

Es_1) (m) Stabilire per quali valori dei parametri a, b, c la seguente equazione

−(a + b + c)x⁴ + (b + c − a)x³ + (a − 2b + c)x² + (b − a + c)x − 8 = 0

diventa reciproca di seconda specie. Risolvere l’equazione ottenuta.

Es_2) (m) Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

{ (x² − 1) − 3(x² − 1) ≥ 0

x² − 1 < 0

────────────

x

}

Es_3) (m) Risolvere le seguenti equazioni irrazionali:

• 3.1   √(x² − 3x) + 7 = 1 + √x
• 3.2   √(x − 2) = √x + 1 − 3
• 3.3   √(3 − x² + x) = 5 − 1 − 2x

Es_4) (m) Risolvere i seguenti sistemi di equazioni:

4.1

{ x² − y² − x + y − 6 = 0

x² + 6xy + y² = 11

}

4.2

{ x² − 6xy + 6y² = 0

x = 0

}

Informatica

Codificare in T.P. l’algoritmo risolutivo del seguente problema di Arturo Studioso:

Arturo vuole tenere sotto controllo le temperature massima e minima di ogni giorno per i successivi trenta giorni ed ogni giorno carica i valori registrati nel giorno precedente, conservando tutti i valori che via via registra. Alla fine del periodo vuole ottenere immediatamente il valore massimo ed il valore minimo registrati, la media delle temperature massime, la media delle temperature minime e l’escursione termica media.

Opzionale - Potenziare il programma in modo che in output si forniscano i giorni in cui si è verificata la temperatura massima e quelli in cui si è verificata la temperatura minima del periodo osservato.

L. Lecci\Compito 2D\Venerdì 28 maggio 2004 2

Soluzione

Geometria

Problema

1) Dalle informazioni fornite dal testo del problema si deduce che il trapezio ha il lato perpendicolare alle basi coincidente con il diametro della circonferenza. Il Fig. 1 è rappresentata la figura di riferimento.

Detto T il punto di contatto tra il lato obliquo CD e la semicirconferenza, notiamo che i segmenti AD, DT sono congruenti perché segmenti di tangenti condotte dallo stesso punto D alla semicirconferenza; analogamente sono congruenti tra loro i segmenti CT, BC. Poniamo x = AD = DT, y = CT = CB. Indicato con O il centro della semicirconferenza, osserviamo che il triangolo COD è rettangolo in O perché:

• I due angoli ADC, BCD sono supplementari in quanto coppia di angoli coniugati interni rispetto alle rette parallele delle basi del trapezio tagliate dalla trasversale [C;D];
• Dal teorema sulle tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza si sa che il segmento che unisce il punto con il centro della circonferenza è bisettrice dell’angolo e quindi DO è bisettrice dell’angolo ADC e CO è bisettrice dell’angolo BCD, angolo formato dalle tangenti.

Quindi si ha:

∠ODT + ∠OCT = 1/2 ∠ADC + 1/2 ∠BCD = 180°/2 = 90°.

Dunque il triangolo COD ha due angoli la cui somma misura 90° e conseguentemente il terzo angolo, cioè ∠COD, misura 90° e quindi è retto.

Relazioni metriche

L’area di un trapezio è data dal prodotto della semisomma delle basi per l’altezza;

quella del trapezio ABCD è ⁵/₂r² e quindi risulta

Area(ABCD) = (BC + AD) · AB/2 = (y + x) · 2r/2 = r(x + y) = ⁵/₂r² ⇒ x + y = ⁵/₂r.

Applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo COD, nel quale l’altezza relativa all’ipotenusa è OT, che misura r, si ha l’ulteriore relazione

CT · DT = OT² ⇒ xy = r².

Risolvendo il sistema di equazioni formato dalle due relazioni ottenute si determinano i valori delle misure x, y.

{ x + y = ⁵/₂r

xy = r²

}

Si tratta di un classico sistema simmetrico di secondo grado; si può risolvere velocemente impostando l’equazione ausiliaria di secondo grado

t² − st + p = 0, con s = x + y, p = xy.

L. Lecci\Compito 2D\Venerdì 28 maggio 2004 3

Dunque t² − ⁵/₂rt + r² = 0 ⇒ t₁ = 2r, t₂ = ^r/₂.

Il sistema è di secondo grado e quindi, se è determinato (come nel nostro caso), ammette due soluzioni. Tuttavia dalle informazioni connesse al problema sappiamo che x rappresenta la base minore e quindi la sua misura deve essere minore della misura y della base maggiore. Per questo motivo, delle due soluzioni del sistema, dal punto di vista geometrico, è accettabile solo

AD = DT = x = ^r/₂, BC = CT = y = 2r, quindi x = ^r/₂, y = 2r.

Misure dei lati e del perimetro del trapezio ABCD

AB = r; BC = 2r; CD = CT + DT = 2r + ^r/₂ = ⁵/₂r; AD = ^r/₂.

Perimetro (di ABCD) = AB + BC + CD + AD = r + 2r + ⁵/₂r + ^r/₂ = 7r.

2)

2.1 Misure dei segmenti AP, PQ

Osserviamo subito che il quadrilatero AQCD è un parallelogramma perché ha i lati opposti paralleli e, sapendo che AD = r/2, QC = r/2, AQ = DC = 5r/2;