Basi sottospazi vettoriali

Basi sottospazi vettoriali, equazione incidente ad altre due e parallela ad un'altra

Basi sottospazi vettoriali, equazione incidente ad altre due e parallela ad un'altra.

Siano U e W sottospazi vettoriali di R⁴ così definiti.

U = L(u₁, u₂, u₃) con u₁ = (1,0,1,0), u₂ = (-1,0,-1,0) e u₃ = (1,1,1,1).

W = L(w₁, w₂) con w₁ = (0,1,0,1) e w₂ = (0,0,0,1).

Si determini una base per U ∩ W ed una per U + W e si stabilisca se tale somma è diretta.

Poiché u₁ = -u₂, mentre u₁, u₃ sono linearmente indipendenti, essi costituiscono una base per U così come w₁, w₂ costituiscono una base per W.

Determiniamo U + W sapendo che U + W = L(u₁, u₃, w₁, w₂) = rg = 3, da cui {u₁, u₃, w₂} è una base di U + W.

Dalla relazione di Grassmann segue che dim U ∩ W = dim U + dim W - dim U + W = 2 + 2 - 3 = 1.

Inoltre si ha w₁ = u₃ - u₁ ∈ U e quindi w₁ ∈ U ∩ W, quindi U ∩ W = L(w₁).

Osserviamo infine che la somma non è diretta in quanto U ∩ W ≠ {0}.